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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 So 31.05.2009 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = xsin x. Bestimmen Sie die vierzehnte Ablei-
tung von f,
d.h. berechnen Sie f(14)(x). |
Hallo,
wie geht man bei Berechnng von höheren Ableitungen vor?
Gibt es eine allg. Formel?
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Hallo, beginne mit der Berechnung einiger Ableitungen (1., 2., 3., ...), du erkennst dann eine Gesetzmäßigkeit, Steffi
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Hallo,
es gibt jedoch auch die sogenannte Leibniz´sche Formel der n-ten Ableitung , die sieht folgendermaßen aus:
[mm] (f*g)^{(n)}= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] f^{(k)}*g^{(n-k)}.
[/mm]
Damit kriegst dus auch relativ schnell heraus.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 So 31.05.2009 | | Autor: | splin |
Ich habe sechs Ableitungen gerechnet, dann fängt es wieder von vorne an:
f(X)= xsinx
f´(x)=1*sinx + x*cosx
f´´(x)= cosx + 1*cosx + x*(-sinx)= 2cosx - x*sinx
f´´´(x)= 2*(-sinx) - sinx + x*cosx= -3sinx + x*cosx
f´´´´(x)= -3cosx + cosx + x*(-sinx)= -2cos(x) - x*sinx
f^(5)(x)= -3sinx + x*cosx
f^(6)(x)=-2cosx-x*sinx
f^(7)(x)=sinx + x*cosx
Konnte bitte jemand schauen ob ich die Produktregel richtig angewendet habe.
Und wie geht das mit der Leibnitz-Formel ?
Was ist n und was ist k ?
Und was mache ich mit n über k ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 So 31.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo splin!
Deine Rechnungen sehen gut aus.
Mit der o.g. Leibniz-Formel gilt in Deinem Falle:
$$n \ = \ 14$$
$$f(x) \ = \ x$$
$$g(x) \ = \ \sin(x)$$
$\vektor{n\\k}}$ ist der ![[]](/images/popup.gif) Binomialkoeffizient
Gruß
Loddar
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Bei deiner 3. Ableitung is ein kleiner Vorzeichenfehler, denn -x*sinx nach x abgeleitet sollte -sinx -x*cos x sein. Somit stimmen dann auch die restlichen als Folgefehler nicht mehr.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 So 31.05.2009 | | Autor: | splin |
Danke für den Hinweis, ich habe nähmlich immer falsch gerechnet.
falsch: -xsinx--> -sinx+cosx
Habe nur bei -x das Vorzeichen beachtet und sinx war immer positiv für mich.Da in der Formel für kettenregel + f(x)*g´(x) steht.
richtig: -xsinx--> -sinx+(-x*cosx) = -sinx - x*cosx
Jetzt weiß ich wo mein Fehler war.
Aber mit der Leibnitz-Formel komme ich gar nicht klar.
Was ist mein k ?
Wenn ich für k=0 einsetze, wie es in der Formel steht, dann muss ich trotzem bei g die 14-te Ableitung rechnen.
Wie gesagt blicke nicht dahinter, konnte jemand vielleicht an einem Beispiel erleutern?
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ja klar musst du die 14. Ableitung von g ausrechnen, aber wir wissen doch folgendes: Wenn du für g(x)=sinx nimmst, also [mm] g^{(0)} [/mm] (x) =sinx, dann is [mm] g^{(1)} [/mm] (x)= cosx, [mm] g^{(2)} [/mm] (x)= -sinx, [mm] g^{(3)} [/mm] (x)= -cos x und [mm] g^{(4)} [/mm] (x)= sinx.
[mm] \Rightarrow g^{(0)} [/mm] (x) = [mm] g^{(4)} [/mm] (x) = [mm] g^{(8)} [/mm] (x) = [mm] g^{(12)} [/mm] (x) = sinx, also is doch [mm] g^{(14)} [/mm] (x)= -sinx, da sich diese von mir anfangs gegeben 4 Ableitungen immer wieder wiederholen.
Viele Grüße
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