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Sehr geehrter Matheraum^^
Ich habe leider eine ,,allgemeine Frage" zu folgender Aufgabe:
Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR^2, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto\begin{cases} \bruch{2 \cdot x^3 \cdot y - x \cdot y^3}{x^2+2\cdot y^2}, & \mbox{ falls } (x,y) \not= (0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{ falls } (x,y) = (0,0) \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Ich soll nun [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] für alle (x,y) [mm] \in \IR^2
[/mm]
Meine herangehensweise:
1. Ich berechne die partiellen Ableitungen [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0):
Ich erhalte: [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=\bruch{(2x^3-3xy^2 \cdot (x^2+2y^2)-(2x^3y-xy^3) \cdot (4y)}{(x^2+2y^2)^2}=\bruch{2x^5+4x^3y^2 -3x^3y^2-6xy^4 -(8x^3y^2-4xy^4)}{(x^2+2y^2)^2}=\bruch{2x^5-7x^3y^2-2xy^4}{(x^2+2y^2)^2} [/mm] fertig...
2. Ich untersuche den Grenzwert der Funktion f(x,y) für [mm] (x,y)=(x_0,y_0)=(0,0):
[/mm]
Hier liegt nun leider mein Verständnisproblem... Ich habe zwei herangehensweisen auf uni-stuttgart gefunden.
1. Variante: Die partiellen Ableitungen im Punkt (x,y)=(0,0) als Grenzwert bestimmen. Es wird folgendes verwendet: [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{f(0,0+h)}{h} \]
[/mm]
2. Variante: Die partiellen Ableitungen im Punkt (x,y)=(0,0) als Grenzwert bestimmen. Es werden Richtungsableitungen untersucht. Es wird folgendes verwendet: [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h} \]
[/mm]
Mir ist leider unklar, welche Variante ich nun auf meine Funktion anwenden muss.
Ich habe nun einmal beide versucht:
1. Variante: [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{f(0+h,0)}{h} \]=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{\bruch{0-0}{0+2h^2}}{h} \]=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{0}{2h^3} \]=0
[/mm]
2. Variante: [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h} \]=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{\bruch{0-0}{2h^2}-\bruch{0}{0}}{h} \] [/mm] und genau hier liegt mein Verständnisproblem in der 2. Variante. Denn [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ist ja i.d.R nicht erlaubt...
ich hoffe ihr versteht mich und könnt mir einen Tipp geben oder mir helfen.
mfg und dankeschön für eure tolle unterstützung dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sehr geehrter Matheraum^^
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> Ich habe leider eine ,,allgemeine Frage" zu folgender
> Aufgabe:
>
> Sei f: [mm]\IR^2 \to \IR^2,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto\begin{cases} \bruch{2 \cdot x^3 \cdot y - x \cdot y^3}{x^2+2\cdot y^2}, & \mbox{ falls } (x,y) \not= (0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{ falls } (x,y) = (0,0) \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Ich soll nun [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm] für alle
> (x,y) [mm]\in \IR^2[/mm]
>
> Meine herangehensweise:
>
> 1. Ich berechne die partiellen Ableitungen [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm]
> für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0):
>
> Ich erhalte: [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=\bruch{(2x^3-3xy^2 \cdot (x^2+2y^2)-(2x^3y-xy^3) \cdot (4y)}{(x^2+2y^2)^2}=\bruch{2x^5+4x^3y^2 -3x^3y^2-6xy^4 -(8x^3y^2-4xy^4)}{(x^2+2y^2)^2}=\bruch{2x^5-7x^3y^2-2xy^4}{(x^2+2y^2)^2}[/mm]
> fertig...
>
> 2. Ich untersuche den Grenzwert der Funktion f(x,y) für
> [mm](x,y)=(x_0,y_0)=(0,0):[/mm]
>
> Hier liegt nun leider mein Verständnisproblem... Ich habe
> zwei herangehensweisen auf uni-stuttgart gefunden.
>
> 1. Variante: Die partiellen Ableitungen im Punkt
> (x,y)=(0,0) als Grenzwert bestimmen. Es wird folgendes
> verwendet: [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{f(0,0+h)}{h} \][/mm]
Das stimmt doch nicht ! Es ist:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h} \][/mm]
>
> 2. Variante: Die partiellen Ableitungen im Punkt
> (x,y)=(0,0) als Grenzwert bestimmen. Es werden
> Richtungsableitungen untersucht. Es wird folgendes
> verwendet: [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h} \][/mm]
Damit: 1. Variante=2. Variante.
>
> Mir ist leider unklar, welche Variante ich nun auf meine
> Funktion anwenden muss.
s.o.
>
> Ich habe nun einmal beide versucht:
>
> 1. Variante: [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{f(0+h,0)}{h} \]=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{\bruch{0-0}{0+2h^2}}{h} \]=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{0}{2h^3} \]=0[/mm]
>
> 2. Variante: [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h} \]=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{\bruch{0-0}{2h^2}-\bruch{0}{0}}{h} \][/mm]
> und genau hier liegt mein Verständnisproblem in der 2.
> Variante. Denn [mm]\bruch{0}{0}[/mm] ist ja i.d.R nicht erlaubt...
Nirgends steht [mm]\bruch{0}{0}[/mm] !! Es ist nach Def. von f: f(0,0)=0.
FRED
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> ich hoffe ihr versteht mich und könnt mir einen Tipp geben
> oder mir helfen.
>
> mfg und dankeschön für eure tolle unterstützung
> dodo4ever
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Hallo fred und danke für deine Antwort...
Dann muss ich mir die Beispielrechnungen auf der Seite Uni-Stuttgart wohl nochmal genauer angucken...
Aber eigentlich ist die Aufgabe ja dann schon gelöst...
1. Ich berechne die partiellen Ableitungen [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] für (x,y) [mm] \not=(0,0):
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=\bruch{(2x^3-3xy^2 \cdot (x^2+2y^2)-(2x^3y-xy^3) \cdot (4y)}{(x^2+2y^2)^2}=\bruch{2x^5+4x^3y^2 -3x^3y^2-6xy^4 -(8x^3y^2-4xy^4)}{(x^2+2y^2)^2}=\bruch{2x^5-7x^3y^2-2xy^4}{(x^2+2y^2)^2}
[/mm]
2. Die partiellen Ableitungen im Punkt (x,y)=(0,0) als Grenzwert bestimmen:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{f(0+h,0)}{h} \]=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{\bruch{0-0}{0+2h^2}-0}{h} \]=\limes_{h\rightarrow 0} \[ \bruch{0}{2h^3} \]=0
[/mm]
und es sollte sich ja somit ergeben:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=\begin{cases} \bruch{2x^5-7x^3y^2-2xy^4}{(x^2+2y^2)^2}, & \mbox{ falls } (x,y) \not= (0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{ falls } (x,y) = (0,0) \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Vielen dank nochmal für die Hilfe mfg dodo4ever
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Mi 07.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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