Hölderstetigkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mi 22.06.2011 | | Autor: | hula |
Liebes Forum,
Obwohl der Beweis simple sein muss, schaffe ich nicht folgendes zu zeigen:
Für [mm] 0<\alpha \le \beta \le 1 [/mm] gilt: [mm] C^{0,\beta}(\bar{U}) \subset C^{0,\alpha}(\bar{U}) [/mm]
Wobei mit [mm] C^{0,\beta}(\bar{U}) [/mm] der Raum der $\ [mm] \beta [/mm] $-hölderstetigen Funktionen auf einem (kompaktem) Abschluss einer offenen Menge $\ U $ ist.
Die Supremumsnorm ist ja die gleiche in beiden Räumen. Ich möchte also eine solche Abschätzung:
[mm][f]_{C^{0,\alpha}}=\sup_{x \not= y} \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha} \le \sup_{x \not= y} \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\beta}, \forall f\in C^{0,\beta}[/mm]
Dann weiss ich:
[mm]\forall f \in C^{0,\beta} \parallel f \parallel_{C^{0,\alpha}} = \parallel f \parallel_{C^0} + [ f ]_{C^{0,\alpha}} \le \parallel f \parallel_{C^0} + [ f ]_{C^{0,\beta}} < \infty[/mm]
Entscheiden ist ja nur [mm] |x-y| [/mm]. Aber hier gibt es 2. Fälle:
1. [mm] |x-y| < 1 \Rightarrow |x-y|^\beta \le |x-y|^\alpha [/mm]
2. [mm] |x-y| \ge 1 \Rightarrow |x-y|^\alpha \le |x-y|^\beta [/mm]
Wie kann man denn nun die Aussage beweisen? Ich weiss ja nichts über $\ x,y$.
mfg
hula
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mi 22.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Liebes Forum,
>
> Obwohl der Beweis simple sein muss, schaffe ich nicht
> folgendes zu zeigen:
>
> Für [mm]0<\alpha \le \beta \le 1[/mm] gilt: [mm]C^{0,\beta}(\bar{U}) \subset C^{0,\alpha}(\bar{U})[/mm]
>
> Wobei mit [mm]C^{0,\beta}(\bar{U})[/mm] der Raum der [mm]\ \beta [/mm]-hölderstetigen
> Funktionen auf einem (kompaktem) Abschluss einer offenen
> Menge [mm]\ U[/mm] ist.
> Die Supremumsnorm ist ja die gleiche in beiden Räumen.
> Ich möchte also eine solche Abschätzung:
>
> [mm][f]_{C^{0,\alpha}}=\sup_{x \not= y} \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha} \le \sup_{x \not= y} \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\beta}, \forall f\in C^{0,\beta}[/mm]
Ich sehe im Moment nicht, warum diese Ungleichung gelten soll. [mm] $f\in C^{0,\beta}$ [/mm] heisst doch nur, dass das rechte Supremum existiert, und [mm] $f\in C^{0,\alpha}$, [/mm] dass das linke Supremum existiert.
Ich würde schreiben: wenn [mm] $f\in C^{0,\beta}$, [/mm] dann existiert eine konstante [mm] $C_\beta$, [/mm] sodass
[mm] |f(x)-f(y)| \le C_\beta |x-y|^\beta [/mm] für alle [mm] $x,y,\in \bar{U}$ [/mm] .
Nun ist [mm] $|x-y|^\beta=|x-y|^\alpha|x-y|^{\beta-\alpha}$, [/mm] und da [mm] $\bar{U}$ [/mm] kompakt und [mm] $\beta-\alpha\ge [/mm] 0$ ist, existiert das Supremum
[mm] s := \sup_{x,y\in\bar{U}} |x-y|^{\beta-\alpha} [/mm] ,
und es ist $s>0$.
Also ist [mm] $|f(x)-f(y)|\le sC_\beta |x-y|^\alpha$, [/mm] und damit [mm] $f\in C^{0,\alpha}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
