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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 So 06.05.2007 | | Autor: | svensen |
| Aufgabe | Sei f(z) eine in [mm] \IC [/mm] holomorphe Funktion mit der Eigenschaft f(x+iy) = f(x) + if(y) (x,y [mm] \in \IC)
[/mm]
Man zeige f(z) = f(1)z für alle z [mm] \in \IC [/mm] |
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben wie ich diese Aufgabe lösen kann? Habe nicht wirklich eine Idee für einen Ansatz.
Vielen Dank für Eure Mühe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Versuchs mal mit den Cauchy-Riemann-PDGL. Sollte nicht schwer sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Sei f(z) eine in [mm]\IC[/mm] holomorphe Funktion mit der
> Eigenschaft f(x+iy) = f(x) + if(y) (x,y [mm]\in \IC)[/mm]
> Man
> zeige f(z) = f(1)z für alle z [mm]\in \IC[/mm]
> Kann mir bitte
> jemand einen Tipp geben wie ich diese Aufgabe lösen kann?
> Habe nicht wirklich eine Idee für einen Ansatz.
bei dieser Aufgabe reicht es schon, dass die Funktion stetig ist, die Holomorphie braucht man gar nicht.
Zeige Folgendes (in dieser Reihenfolge):
1) Es gilt $f(i z) = i f(z)$ fuer alle $z [mm] \in \IC$.
[/mm]
2) Es gilt $f(x + y) = f(x) + f(y)$ fuer alle $x, y [mm] \in \IC$.
[/mm]
3) Es gilt $f(x) = x f(1)$ fuer alle $x [mm] \in \IZ$.
[/mm]
4) Es gilt $f(x) = x f(1)$ fuer alle $x [mm] \in \IQ$.
[/mm]
5) Es gilt $f(x + i y) = (x + i y) f(1)$ fuer alle $x, y [mm] \in \IQ$.
[/mm]
6) Es gilt $f(z) = z f(1)$ fuer alle $z [mm] \in \IC$.
[/mm]
Gerade fuer die Schritte 3), 4) und 6) kannst du genauso vorgehen wie bei dem Beweis, dass [mm] $\exp(z) [/mm] = [mm] e^z$ [/mm] ist fuer alle $z [mm] \in \IR$ [/mm] (das hattet ihr sicher mal in der Analysis I oder II).
LG Felix
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Jetzt mal ehrlich - Cauchy-Riemann geht schneller :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Mo 07.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Wie willst du cauchy riemann anwenden, du hast ja keine reelwertigen Real und IM-teil funktionen??
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Die Idee war zu zeigen, dass die Ableitung nur konstant sein kann:
Setze f(z) = u(x) + iv(y) (u,v,x,y reell)
Aus der gegebenen Gleichung folgt mit reellen x,y:
f(x+iy) = f(x) + i f(y) = u(x) +iv(x) + iu(y) - v(y) = u(x) - v(y) + i(u(y) - v(x))
Setze A:= u(x) - v(y) und B:=(u(y) - v(x)). Dann wende Cauchy-Riemann an (etwas rekursiv, gebe ich zu). Man sieht, dass das nur gelten kann, wenn die partiellen Ableitungen alle konstant sind, d.h. die Funktion ist insgesamt linear.
Zum Schluss muss man noch zeigen, dass f(0)=0, aber das ist nicht schwer:
f(0) = f(x+iix) = f(x) + i f(ix) = f(x) - f(x) = 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Mo 07.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Danke - müsste funktionieren..
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