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| Aufgabe | Es sei a [mm] \in \IC. [/mm] Für z [mm] \in \IC \setminus [/mm] {0} ist [mm] z^a:=e^{a*ln(z)}, [/mm] mit ln Hauptzweig des Logarithmus.
Zeigen sie, dass die Funktion [mm] f_a:\IC\setminus\IR^{+}_{0} \to \IC, z\to z^a [/mm] holomorph ist und bestimmen sie die erste Ableitung. |
Um zu beweisen,dass die Funktion holomorph ist, wollte ich den Grenzwert bilden um nach komplexen Differenzierbarkeit zu prüfen, d.h.
[mm] \limes_{h \to 0} \frac{(z+h)^a-z^a}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h \to 0} \frac{e^{a*ln(z+h)}-e^{a*ln(z)}}{h} [/mm]
Jetzt weiß noch, dass ln(z+h)=ln|z+h|+i*arg(z+h)
Wie komme ich weiter?gerne würde ich das h im Nenner wegkürzen....
Für Tipps wäre ich sehr dankbar 
Euer <3-blatt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 So 05.06.2016 | | Autor: | fred97 |
ln ist doch auf dem Definitionsbereich von [mm] f_a [/mm] holomorph.
Bemühe die Kettenregel.
fred
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> ln ist doch auf dem Definitionsbereich von [mm]f_a[/mm] holomorph.
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> Bemühe die Kettenregel.
>
> fred
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Achso, darf ich dann einfach für [mm] f(z)=z^a=e^{a*ln(z)}
[/mm]
folgern, dass die Ableitung [mm] f'(z)=e^{a*ln(z)}*\frac{a}{z} [/mm] existiert, da der Nenner nach Voraussetzung (Definitionsbereich von f) nie Null sein kann?
und f(z) holomorph ist, da e, sowie ln holomorph und die Zusammensetzung der beiden dann wieder holomorph ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 So 05.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> > ln ist doch auf dem Definitionsbereich von [mm]f_a[/mm] holomorph.
> >
> > Bemühe die Kettenregel.
> >
> > fred
> >
> >
> Achso, darf ich dann einfach für [mm]f(z)=z^a=e^{a*ln(z)}[/mm]
> folgern, dass die Ableitung [mm]f'(z)=e^{a*ln(z)}*\frac{a}{z}[/mm]
> existiert, da der Nenner nach Voraussetzung
> (Definitionsbereich von f) nie Null sein kann?
> und f(z) holomorph ist, da e, sowie ln holomorph und die
> Zusammensetzung der beiden dann wieder holomorph ist?
>
ja
fred
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 So 05.06.2016 | | Autor: | Herzblatt |
vielen Dank
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