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| Aufgabe | | Es sei [mm] \omega [/mm] ein nicht leeres Gebiet und [mm] f:\omega \to \IC [/mm] eine holomorphe Funktion mit [mm] f(z)\neq [/mm] 0 für alle z [mm] \in \omega. [/mm] Zeigen Sie, dass eine holomorphe Funktion g: [mm] \omega \to \IC [/mm] existiert, sodass [mm] e^{g(z)}=f(z) [/mm] für alle z [mm] \in \omega [/mm] gilt. |
Hallo,
ich habe mich gefragt, ob ich die holomorphe Funktion f als Reihe darstellen sollte und dann irgendwie so überführe, dass ich [mm] e^{g(z)} [/mm] stehen habe (wobei man die Exponentialfunktion vielleicht auch als Reihe dann hätte).Leider weiß ich nicht, ob es eine generelle Reihe gibt, mit der man jede holomorphe Funktion ausdrücken kann. Ich vermute, dass man noch benutzen muss, dass [mm] \omega [/mm] ein Gebiet ist und Gebiete sind ja nicht leer und wegzusammenhängend. Aber bringt mir das was?
ich weiß wirklich nicht genau wo ich anfangen soll.. :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Mo 06.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\omega[/mm] ein nicht leeres Gebiet und [mm]f:\omega \to \IC[/mm]
> eine holomorphe Funktion mit [mm]f(z)\neq[/mm] 0 für alle z [mm]\in \omega.[/mm]
> Zeigen Sie, dass eine holomorphe Funktion g: [mm]\omega \to \IC[/mm]
> existiert, sodass [mm]e^{g(z)}=f(z)[/mm] für alle z [mm]\in \omega[/mm]
> gilt.
Die Aussage ist falsch ! Es fehlt eine wesentliche Vor. an das Gebiet [mm] \omega: \omega [/mm] muss auch noch einfach zusammenhängend sein ! Denn es gilt folgender Satz:
Sei G ein Gebiet in [mm] \IC. [/mm] Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) G ist einfach zusammenhängend.
(b) jede nullstellenfreie holomorphe Funktion auf G hat auf G einen holomorphen Logarithmus.
> Hallo,
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> ich habe mich gefragt, ob ich die holomorphe Funktion f als
> Reihe darstellen sollte und dann irgendwie so überführe,
> dass ich [mm]e^{g(z)}[/mm] stehen habe (wobei man die
> Exponentialfunktion vielleicht auch als Reihe dann
> hätte).Leider weiß ich nicht, ob es eine generelle Reihe
> gibt, mit der man jede holomorphe Funktion ausdrücken
> kann. Ich vermute, dass man noch benutzen muss, dass [mm]\omega[/mm]
> ein Gebiet ist und Gebiete sind ja nicht leer und
> wegzusammenhängend. Aber bringt mir das was?
> ich weiß wirklich nicht genau wo ich anfangen soll.. :/
Wie gesagt, [mm] \omega [/mm] muss ein einfach zusammenhängendes Gebiet sein. Ist dann f auf [mm] \omega [/mm] holomorph und nullstellenfrei, so ist f'/f auf [mm] \omega [/mm] holomorph.
Da [mm] \omega [/mm] einfach zusammenhängend ist, besitzt f'/f auf [mm] \omega [/mm] eine Stammfunktion F. Setze [mm] H:=\bruch{e^F}{f} [/mm] und zeige, dass H konstant ist.
Mit einer Konstanten c [mm] \ne [/mm] 0 ist also [mm] e^F=cf.
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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> > Es sei [mm]\omega[/mm] ein nicht leeres Gebiet und [mm]f:\omega \to \IC[/mm]
> > eine holomorphe Funktion mit [mm]f(z)\neq[/mm] 0 für alle z [mm]\in \omega.[/mm]
> > Zeigen Sie, dass eine holomorphe Funktion g: [mm]\omega \to \IC[/mm]
> > existiert, sodass [mm]e^{g(z)}=f(z)[/mm] für alle z [mm]\in \omega[/mm]
> > gilt.
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> Die Aussage ist falsch ! Es fehlt eine wesentliche Vor. an
> das Gebiet [mm]\omega: \omega[/mm] muss auch noch einfach
> zusammenhängend sein ! Denn es gilt folgender Satz:
>
> Sei G ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm] Dann sind die folgenden Aussagen
> äquivalent:
>
> (a) G ist einfach zusammenhängend.
>
> (b) jede nullstellenfreie holomorphe Funktion auf G hat auf
> G einen holomorphen Logarithmus.
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> > Hallo,
> >
> > ich habe mich gefragt, ob ich die holomorphe Funktion f als
> > Reihe darstellen sollte und dann irgendwie so überführe,
> > dass ich [mm]e^{g(z)}[/mm] stehen habe (wobei man die
> > Exponentialfunktion vielleicht auch als Reihe dann
> > hätte).Leider weiß ich nicht, ob es eine generelle Reihe
> > gibt, mit der man jede holomorphe Funktion ausdrücken
> > kann. Ich vermute, dass man noch benutzen muss, dass [mm]\omega[/mm]
> > ein Gebiet ist und Gebiete sind ja nicht leer und
> > wegzusammenhängend. Aber bringt mir das was?
> > ich weiß wirklich nicht genau wo ich anfangen soll..
> :/
>
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> Wie gesagt, [mm]\omega[/mm] muss ein einfach zusammenhängendes
> Gebiet sein. Ist dann f auf [mm]\omega[/mm] holomorph und
> nullstellenfrei, so ist f'/f auf [mm]\omega[/mm] holomorph.
>
> Da [mm]\omega[/mm] einfach zusammenhängend ist, besitzt f'/f auf
> [mm]\omega[/mm] eine Stammfunktion F. Setze [mm]H:=\bruch{e^F}{f}[/mm] und
> zeige, dass H konstant ist.
> Mit einer Konstanten c [mm]\ne[/mm] 0 ist also [mm]e^F=cf.[/mm]
>
> Jetzt Du.
>
> FRED
Super! Ich habe die Ableitung von H gebildet, die ist (mit Quotientenregel) null und deshalb ist H eine Konstante. Also kann ich dann sagen, mein gesuchtes g(z) ist [mm] g(z)=\int\frac{f'}{f} [/mm] oder fehlt da noch was? Mich irritiert jetzt noch das c, weil dieses ja in der Aufgabenstellung eins ist...
VIelen lieben Dank  )))
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:02 Di 07.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > Es sei [mm]\omega[/mm] ein nicht leeres Gebiet und [mm]f:\omega \to \IC[/mm]
> > > eine holomorphe Funktion mit [mm]f(z)\neq[/mm] 0 für alle z [mm]\in \omega.[/mm]
> > > Zeigen Sie, dass eine holomorphe Funktion g: [mm]\omega \to \IC[/mm]
> > > existiert, sodass [mm]e^{g(z)}=f(z)[/mm] für alle z [mm]\in \omega[/mm]
> > > gilt.
> >
> >
> > Die Aussage ist falsch ! Es fehlt eine wesentliche Vor. an
> > das Gebiet [mm]\omega: \omega[/mm] muss auch noch einfach
> > zusammenhängend sein ! Denn es gilt folgender Satz:
> >
> > Sei G ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm] Dann sind die folgenden Aussagen
> > äquivalent:
> >
> > (a) G ist einfach zusammenhängend.
> >
> > (b) jede nullstellenfreie holomorphe Funktion auf G hat auf
> > G einen holomorphen Logarithmus.
> >
> >
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe mich gefragt, ob ich die holomorphe Funktion f als
> > > Reihe darstellen sollte und dann irgendwie so überführe,
> > > dass ich [mm]e^{g(z)}[/mm] stehen habe (wobei man die
> > > Exponentialfunktion vielleicht auch als Reihe dann
> > > hätte).Leider weiß ich nicht, ob es eine generelle Reihe
> > > gibt, mit der man jede holomorphe Funktion ausdrücken
> > > kann. Ich vermute, dass man noch benutzen muss, dass [mm]\omega[/mm]
> > > ein Gebiet ist und Gebiete sind ja nicht leer und
> > > wegzusammenhängend. Aber bringt mir das was?
> > > ich weiß wirklich nicht genau wo ich anfangen
> soll..
> > :/
> >
> >
> > Wie gesagt, [mm]\omega[/mm] muss ein einfach zusammenhängendes
> > Gebiet sein. Ist dann f auf [mm]\omega[/mm] holomorph und
> > nullstellenfrei, so ist f'/f auf [mm]\omega[/mm] holomorph.
> >
> > Da [mm]\omega[/mm] einfach zusammenhängend ist, besitzt f'/f auf
> > [mm]\omega[/mm] eine Stammfunktion F. Setze [mm]H:=\bruch{e^F}{f}[/mm] und
> > zeige, dass H konstant ist.
> > Mit einer Konstanten c [mm]\ne[/mm] 0 ist also [mm]e^F=cf.[/mm]
> >
> > Jetzt Du.
> >
> > FRED
> Super! Ich habe die Ableitung von H gebildet, die ist (mit
> Quotientenregel) null und deshalb ist H eine Konstante.
> Also kann ich dann sagen, mein gesuchtes g(z) ist
> [mm]g(z)=\int\frac{f'}{f}[/mm] oder fehlt da noch was? Mich
> irritiert jetzt noch das c, weil dieses ja in der
> Aufgabenstellung eins ist...
Wir haben [mm] e^F=cf [/mm] mit enem c [mm] \ne [/mm] 0. Zu c gibt es ein a mit [mm] e^a=c. [/mm] Das liefert
[mm] e^{F-a}=f
[/mm]
fred
>
> VIelen lieben Dank )))
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Di 07.06.2016 | | Autor: | Herzblatt |
das heißt in unserem Fall ist c=1 daraus folgt a=0 und damit [mm] f=e^F
[/mm]
Stimmt das?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Di 07.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> das heißt in unserem Fall ist c=1 daraus folgt a=0 und
> damit [mm]f=e^F[/mm]
> Stimmt das?
Nein, wie kommst du auf sowas ?
fred
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