Holomorphie < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
kann mir einer den Begriff Holomorphie näher erklären? Ich habe gelesen, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind. Gilt das nur für holomorphe Funktionen oder gibt es solche auf im Reellen? Was wäre ein Beispiel für eine holomorphe Funktion und wie zeige ich, dass diese Funktion beliebig oft differenzierbar ist (Differenzenquotient?)?
Liebe Grüße,
BeelzeBub
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
>
> kann mir einer den Begriff Holomorphie näher erklären? Ich
> habe gelesen, dass holomorphe Funktionen beliebig oft
> differenzierbar sind. Gilt das nur für holomorphe
> Funktionen oder gibt es solche auf im Reellen? Was wäre ein
> Beispiel für eine holomorphe Funktion und wie zeige ich,
> dass diese Funktion beliebig oft differenzierbar ist
> (Differenzenquotient?)?
Hallo
holomorphe Funktionen gibts nur im komplexen, sie heissen so, wenn sie in einer ganzen offenen Umgebung komplex differenzierbar sind.
die Def. von komplex diffb. lies in wiki unter holomorph nach.
Das besondere am kompl.diffb. ist dass sie dann wirklich unendlich oft diffb.
lies den Beweis einfach in nem Buch nach.
Das schöne an den hol. fkt. ist, dass sie Winkeltreu sind.
Beispiele sind alle Polynome, und (az+b)/cz+d) [mm] ,e^z [/mm] und viele mehr.
man darf holomorph nicht mit der Differenzierbarkeit der reellen fkt f(x,y) verwechseln x,y Realteil und Img. Teil von z und deren Differenzierbarkeit.
Gruss leduart
>
> Liebe Grüße,
> BeelzeBub
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo leduart,
ich habe den Artikel auf Wiki gelesen, aber nicht verstanden. So wie ich es verstanden ist eine Funktion genau dann holomorph, wenn die Ableitung f'(z) für jedes z [mm] \in [/mm] G existiert. Ein Beispiel wäre [mm] e^z [/mm] . Wieso ist dann nicht auch [mm] e^x [/mm] aus dem Reellen holomorph? [mm] e^x [/mm] ist auch beliebig oft differenzierbar oder gilt der Ausdruck holomorph auch für [mm] \IR [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
im reellen ist holoorph nicht definiert. gibts also nicht.
wär auch sinnlos, denn eine reelle fkt, die in ner Umgebung 1 mal reell diffb. ist, ist deshalb nicht beliebig oft diffb.
die ander eigenschaft von holomorph, winkeltreu. macht auch im reellen keinen Sinn.
Warum willst du denn den Begriff im reellen anwenden?
dass [mm] e^x [/mm] beliebig oftt differenzierbar ist, drückt man damit aus dass es aus [mm] C^\{\infty} [/mm] ist.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> ich habe den Artikel auf Wiki gelesen, aber nicht
> verstanden. So wie ich es verstanden ist eine Funktion
> genau dann holomorph, wenn die Ableitung f'(z) für jedes z
> [mm]\in[/mm] G existiert. Ein Beispiel wäre [mm]e^z[/mm] . Wieso ist dann
> nicht auch [mm]e^x[/mm] aus dem Reellen holomorph? [mm]e^x[/mm] ist auch
> beliebig oft differenzierbar oder gilt der Ausdruck
> holomorph auch für [mm]\IR[/mm] ?
Die beste Entsprechung für den Begriff "holomorph" für reelle Funktionen ist meines Wissens der Begriff "analytisch".
Eine (reelle oder komplexe) Funktion heisst analytisch in einem offenen, zusammenhängenden Bereich G, falls man sie in jedem Punkt von G in eine konvergente Potenzreihe entwickeln kann.
Das Besondere bei den komplexen Funktionen ist dies: dass daraus, dass eine komplexe Funktion differenzierbar ist, schon folgt, dass sie analytisch ist.
|
|
|
| |
|
Hallo Somebody,
das hat was mit Konvergenzradius zu tun, oder? Das Zeug ist echt ziemlich harter Tobak. Noch raffe ich kein Wort. Bisher habe ich nur verstanden, dass eine Darstellung als Potenzreihe eine Voraussetzung ist.
|
|
|
| |
|
> Hallo Somebody,
>
> das hat was mit Konvergenzradius zu tun, oder?
Ich bin nicht ganz sicher, worauf Du damit anspielen willst. Eine (reell/komplex) analytische Funktion ist allerdings unendlich oft diff'bar, weil eine Potenzreihe im Innern ihres Konvergenzintervalls/kreises unendlich oft diff'bar ist.
|
|
|
|
