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Hallo,
ich habe da mal eine Frage, ob ich etwas richtig verstanden habe:
Seien im folgenden N und M R-Moduln, wobei R ein kommutativer Ring ist. Nun definert man Hom(N,M) (oder besser [mm] Hom_R(N,M)) [/mm] als die Menge der Homomorphismen f:N [mm] \to [/mm] M.
Homomorphismus zu sein, bedeutet hier, dass f(a+b)=f(a)+f(b) und r*f(n)=f(r*n) für alle n aus N und r aus R. (Mehr nicht?)
Hom(N,M) ist selbst ein R-Modul, da Hom(N,M) mit + eine abelsche Gruppe ist (f(0)=0) und durch r*f [mm] =f\circ (r*id_N) [/mm] eine äussere Multiplikation [mm] *:R\times Hom(N,M)\to [/mm] Hom(N,M) definiert ist, die die Eigenschaften eines Moduls erfüllt.
Jeder Ring R kann als Modul über sich selbst aufgefasst werden.
Es gilt [mm] Hom_R(R,M)\cong [/mm] M.
Allgemeiner gilt für jedes Ideal I von R, dass [mm] Hom(R/I,M)\cong \{m\in M | Im=0\}.
[/mm]
Wie sieht man das genau? Bestimmt muss man einen Homomorphismus u: [mm] Hom(R/I,M)\to [/mm] M durch
[mm] u\mapsto [/mm] u(1) defineren und eine Umkehrabbildung...Ist ein Homomorphismus dadurch eindeutig, dass man sagt, was auf der "Eins" passiert, wenn es eine gibt (wie in diesem Fall)?
Was ist dann [mm] Hom_\IZ(\IZ/n\IZ,\IZ) [/mm] ?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Mo 10.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe da mal eine Frage, ob ich etwas richtig verstanden
> habe:
>
> Seien im folgenden N und M R-Moduln, wobei R ein
> kommutativer Ring ist. Nun definert man Hom(N,M) (oder
> besser [mm]Hom_R(N,M))[/mm] als die Menge der Homomorphismen f:N [mm]\to[/mm]
> M.
>
> Homomorphismus zu sein, bedeutet hier, dass
> f(a+b)=f(a)+f(b) und r*f(n)=f(r*n) für alle n aus N und r
> aus R. (Mehr nicht?)
...und natuerlich $a, b [mm] \in [/mm] N$  Ja, mehr nicht!
> Hom(N,M) ist selbst ein R-Modul, da Hom(N,M) mit + eine
> abelsche Gruppe ist (f(0)=0) und durch r*f [mm]=f\circ (r*id_N)[/mm]
> eine äussere Multiplikation [mm]*:R\times Hom(N,M)\to[/mm] Hom(N,M)
> definiert ist, die die Eigenschaften eines Moduls erfüllt.
Genau.
> Jeder Ring R kann als Modul über sich selbst aufgefasst
> werden.
Genau.
> Es gilt [mm]Hom_R(R,M)\cong[/mm] M.
Genau.
> Allgemeiner gilt für jedes Ideal I von R, dass
> [mm]Hom(R/I,M)\cong \{m\in M | Im=0\}.[/mm]
>
> Wie sieht man das genau? Bestimmt muss man einen
> Homomorphismus u: [mm]Hom(R/I,M)\to[/mm] M durch
> [mm]u\mapsto[/mm] u(1) defineren und eine Umkehrabbildung...
Sei [mm] $\pi [/mm] : R [mm] \to [/mm] R/I$ die Projektion.
Du brauchst ein wenig den Homomorphiesatz (fuer Moduln): Ein Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] M$ mit $I [mm] \subseteq \ker\varphi$ [/mm] induziert einen eindeutigen Homomorphismus [mm] $\hat{\varphi} [/mm] : R/I [mm] \to [/mm] M$ mit [mm] $\hat{\varphi} \circ \pi [/mm] = [mm] \varphi$.
[/mm]
Andersherum induziert ein Homomorphismus [mm] $\hat{\varphi} [/mm] : R/I [mm] \to [/mm] M$ genau einen Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] M$ mit $I [mm] \subseteq \ker\varphi$ [/mm] und [mm] $\hat{\varphi} \circ \pi [/mm] = [mm] \varphi$.
[/mm]
Also ist [mm] $Hom_R(R/I, [/mm] M) [mm] \cong \{ \varphi \in Hom_R(R, M) \mid I \subseteq \ker\varphi \}$.
[/mm]
Nun ist der Isomorphismus [mm] $Hom_R(R, [/mm] M) [mm] \to [/mm] M$ ja durch [mm] $\varphi \mapsto \varphi(1)$ [/mm] gegeben. Sei also [mm] $\varphi(1) [/mm] = m [mm] \in [/mm] M$. Dann ist $I [mm] \subseteq \ker\varphi$ [/mm] genau dann, wenn $I m = 0$ ist.
Wenn du jetzt alle diese Aussagen kombinierst bekommst du deine Aussage :)
> Ist ein
> Homomorphismus dadurch eindeutig, dass man sagt, was auf
> der "Eins" passiert, wenn es eine gibt (wie in diesem
> Fall)?
Ein Homomorphismus von $R$ nach $M$ ist dadurch eindeutig bestimmt. Genauer: zu jedem $m [mm] \in [/mm] M$ gibt es genau einen Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] M$ mit [mm] $\varphi(1) [/mm] = m$. Das ist uebrigens genau die Aussage [mm] $Hom_R(R, [/mm] M) [mm] \cong [/mm] M$.
(Du kannst diese Aussage verallgemeinern: [mm] $Hom_R(R^n, [/mm] M) [mm] \cong M^n$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IN$.)
[/mm]
> Was ist dann [mm]Hom_\IZ(\IZ/n\IZ,\IZ)[/mm] ?
Wenn $n = 0$ ist, dann ist [mm] $\IZ/n\IZ \cong \IZ$, [/mm] also ist [mm] $Hom_\IZ(\IZ/n\IZ,\IZ) \cong \IZ$ [/mm] nach dem obrigen.
Ist $n [mm] \neq [/mm] 0$, so gilt $m [mm] \cdot n\IZ [/mm] = 0$ genau dann, wenn $m = 0$ ist. Wieder nach dem obigen ist dann [mm] $Hom_\IZ(\IZ/n\IZ, \IZ) \cong \{ 0 \}$.
[/mm]
LG Felix
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Vielen Dank, Felix!
Nun noch etwas:
[mm] Hom_R(-,M) [/mm] ist ein kontravarianter Funktor (von der Kategorie der R-Moduln in die Kategorie der R-Moduln?).
Also für ein Objekt N erhält man ein Objekt Hom(N,M) und für eine Abbildung [mm] f:N\to [/mm] N' erhält man eine Abbildung [mm] Hom(N',M)\to [/mm] Hom(N,M), aber wieso, also wie genau?
Vielen Dank nocheinmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mo 10.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Nun noch etwas:
>
> [mm]Hom_R(-,M)[/mm] ist ein kontravarianter Funktor (von der
> Kategorie der R-Moduln in die Kategorie der R-Moduln?).
Genau!
> Also für ein Objekt N erhält man ein Objekt Hom(N,M) und
> für eine Abbildung [mm]f:N\to[/mm] N' erhält man eine Abbildung
> [mm]Hom(N',M)\to[/mm] Hom(N,M), aber wieso, also wie genau?
Nimm dir einen Morphismus [mm] $\varphi [/mm] : N' [mm] \to [/mm] M$ aus $Hom(N', M)$. Wie bekommst du dadraus einen Morphismus $N [mm] \to [/mm] M$? Wenn du $f : N [mm] \to [/mm] N'$ gegeben hast? Es gibt genau eine schoene Moeglichkeit (und wie so oft in der Mathematik ist das dann genau die die man haben will): Verkette $f$ mit [mm] $\varhpi$, [/mm] also nimm [mm] $\varphi \circ [/mm] f : N [mm] \to [/mm] M$; das ist ein Homomorphismus, liegt also in $Hom(N, M)$.
Das diese Zuordnung [mm] $\varphi \mapsto \varphi \circ [/mm] f$ ein Homomorphismus $Hom(N',M) [mm] \to \Hom(N,M)$ [/mm] ist kann man leicht nachrechnen.
So. Damit hast du deinen kontravarianten (da richtungsverdrehenden) Funktor 
(Mit dem Funktor [mm] $Hom_R(N,-)$ [/mm] geht es genauso: es gibt nur eine `offensichtliche' Moeglichkeit, zu [mm] $\varphi [/mm] : M [mm] \to [/mm] M'$ eine Abbildung [mm] $Hom_R(N,M) \to Hom_R(N,M')$ [/mm] zu definieren, naemlich wieder durchs Verketten -- diesmal aber von der anderen Seite.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mo 10.04.2006 | | Autor: | hallo12345 |
Dankeschön.
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