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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 So 07.12.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
| Aufgabe | 1) Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheit der DGL: [mm] x^{(4)}(t)-x(t)=0
[/mm]
2) Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheit der DGL: [mm] x^{(4)}(t)-x(t)=1 [/mm] |
Hallo liebe Matheraum-Gemeinde,
habe hier ein kleines Problem. Die erste Aufgabe habe ich gelöst, weiß aber nicht, wie ich von dieser Lösung zur Lösung von 2) kommen kann.
Für 1) habe ich folgendes Fundamentalsystem:
$ [mm] \Phi_1 [/mm] (t) = [mm] \pmat{ e^t \\ e^{-t} \\ cos(-t) \\ sin(t) } [/mm] $
Habe mir überlegt, dass eigentlich die Lösung von 2) folgende sein könnte:
$ [mm] \Phi_2 [/mm] (t) = [mm] \pmat{ e^t-1 \\ e^{-t}-1 \\ cos(-t)-1 \\ sin(t)-1 } [/mm] $
Nun meine Frage:
Falls die Lösung von 2) stimmt, wie komme ich wissenschaftlich/mathematisch fundiert von [mm] $\Phi_1$ [/mm] zu [mm] $\Phi_2$ [/mm] ?
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Hallo,
> 1) Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheit der DGL:
> [mm]x^{(4)}(t)-x(t)=0[/mm]
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> 2) Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheit der DGL:
> [mm]x^{(4)}(t)-x(t)=1[/mm]
> Hallo liebe Matheraum-Gemeinde,
>
> habe hier ein kleines Problem. Die erste Aufgabe habe ich
> gelöst, weiß aber nicht, wie ich von dieser Lösung zur
> Lösung von 2) kommen kann.
>
> Für 1) habe ich folgendes Fundamentalsystem:
>
> [mm]\Phi_1 (t) = \pmat{ e^t \\ e^{-t} \\ cos(-t) \\ sin(t) }[/mm]
>
> Habe mir überlegt, dass eigentlich die Lösung von 2)
> folgende sein könnte:
>
> [mm]\Phi_2 (t) = \pmat{ e^t-1 \\ e^{-t}-1 \\ cos(-t)-1 \\ sin(t)-1 }[/mm]
>
> Nun meine Frage:
>
> Falls die Lösung von 2) stimmt, wie komme ich
> wissenschaftlich/mathematisch fundiert von [mm]\Phi_1[/mm] zu [mm]\Phi_2[/mm]
> ?
Du kannst ja einmal da nachschauen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=525&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fclient%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla%253Ade%253Aofficial%26channel%3Ds%26hl%3Dde%26q%3DMatroid%2BDGL%26meta%3D%26btnG%3DGoogle-Suche
Als homogene Lösung habe ich auch:
[mm] $x(t)_h [/mm] = [mm] C_1*e^t+C_2*e^{-t}+C_3*sin(t)+C_4*cos(t)$
[/mm]
Nun kann man als partikuläre Lösung ein Polynom ansetzen (das in diesem Fall nur aus einer Konstanten A besteht):
[mm] $x(t)_p=A$
[/mm]
und diese partikuläre Lsg. dann in die DGL einsetzen. Man erhält
A = -1
Die allgemeine Lösung ist dann die Summe aus partikulärer Lösung und homogener Lösung:
[mm] $x(t)=x(t)_h+x(t)_p$
[/mm]
$x(t)= [mm] C_1*e^t+C_2*e^{-t}+C_3*sin(t)+C_4*cos(t)-1$
[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 So 07.12.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
Alles klar, vielen Dank! Das heißt meine Notation war erstmal falsch. Erst die Linearkombination aus den vier Lösungen bilden, dann die 1 abziehen.
Grüße und danke,
Tobi
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