Homogenes Gleichungssystem < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Sa 16.07.2016 | | Autor: | Fjury |
| Aufgabe | Für eine Matrix A [mm] \in [/mm] M( [mm] 4x5;\IR [/mm] )
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2& 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 4 & 4 }
[/mm]
bestimme man die Lösung des homogenen Gleichungssystems Ax= 0 |
Hi, bin bereits durch auflösen nach Gauß auf
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
gekommen, dadurch hat das LGS nichttriviale Lösungen
Allerdings komme ich hier jetzt nicht weiter, habe mehrmals versucht mit Parametern die Lösung zu bestimmen, komme aber irgendwie nicht weiter...
gewählt habe ich für bspw. [mm] x_{4}= [/mm] t
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Sa 16.07.2016 | | Autor: | luis52 |
> Für eine Matrix A [mm]\in[/mm] M( [mm]4x5;\IR[/mm] )
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2& 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 4 & 4 }[/mm]
>
> bestimme man die Lösung des homogenen Gleichungssystems
> Ax= 0
> Hi, bin bereits durch auflösen nach Gauß auf
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> gekommen, dadurch hat das LGS nichttriviale Lösungen
>
> Allerdings komme ich hier jetzt nicht weiter, habe mehrmals
> versucht mit Parametern die Lösung zu bestimmen, komme
> aber irgendwie nicht weiter...
>
>
> gewählt habe ich für bspw. [mm]x_{4}=[/mm] t
>
>
Moin, haenge unten an die letzten beiden beiden Vektoren (ohne die Nullzeile) die Matrix [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1}[/mm].
Du erhaeltst
[mm]\pmat{ -1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \\-1 &0 \\ 0 &-1 }=(\mathbf{z}_1,\mathbf{z}_2)[/mm].
Die allgemeine Loesung ist [mm] $\alpha_1\mathbf{z}_1+\alpha_2\mathbf{z}_2$, $\alpha_1,\alpha_2\in\IR.
[/mm]
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> Für eine Matrix A [mm]\in[/mm] M( [mm]4x5;\IR[/mm] )
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2& 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 4 & 4 }[/mm]
>
> bestimme man die Lösung des homogenen Gleichungssystems
> Ax= 0
> Hi, bin bereits durch auflösen nach Gauß auf
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> gekommen, dadurch hat das LGS nichttriviale Lösungen
>
> Allerdings komme ich hier jetzt nicht weiter, habe mehrmals
> versucht mit Parametern die Lösung zu bestimmen, komme
> aber irgendwie nicht weiter...
>
>
> gewählt habe ich für bspw. [mm]x_{4}=[/mm] t
>
>
Wie du siehst, hast du für 5 Unbekannte nur 3 Gleichungen (die untere Nullzeile besagt nur, dass eine der 4 Ausgangsgleichungen irgendeine Linearkombination der anderen war und sie damit keine zusätzliche Information enthält). Von 5 Unbekannten kannst du wegen der 3 Gleichungen nur 3 - in Abhängigkeit von den beiden anderen - bestimmen.
Nenne [mm] x_4 [/mm] = t und [mm] x_5 [/mm] = v.
Nun formst du die 3 oberen Zeilen deiner Endmatrix wieder in neue Gleichungen um:
[mm] x_1 [/mm] - 1*u -1*v = 0
[mm] x_2 [/mm] + 1*t = 0
[mm] x_3 [/mm] + 1*t + 2*v = 0
Damit erhältst du nun alle Lösungen:
[mm] x_1 [/mm] = u+v
[mm] x_2 [/mm] = -t
[mm] x_3 [/mm] = -t -2v
[mm] x_4 [/mm] = t
[mm] x_5 [/mm] = v
t, v beliebig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Sa 16.07.2016 | | Autor: | luis52 |
> Damit erhältst du nun alle Lösungen:
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> [mm]x_1[/mm] = u+v
> [mm]x_2[/mm] = -t
> [mm]x_3[/mm] = -t -2v
> [mm]x_4[/mm] = t
> [mm]x_5[/mm] = v
>
> t, v beliebig.
Sehr schoen, das entspricht fast der Loesung oben. Nur ist mit unklar, was $u$ ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Sa 16.07.2016 | | Autor: | Steffi21 |
Gönne HJK doch den kleinen Schreibfehler [mm] x_1=t+v [/mm] Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Sa 16.07.2016 | | Autor: | Fjury |
Ah, misst danke ^^ okay, also zwei unbekannte wählen :p ja dann war ich fast beim ergebnis... Danke euch
Gruß Adrian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Sa 16.07.2016 | | Autor: | luis52 |
> Gönne HJK doch den kleinen Schreibfehler [mm]x_1=t+v[/mm] Steffi
Ah, ja! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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