Homogenes LGS < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Fr 16.11.2007 | | Autor: | xAmp |
| Aufgabe | Sind die Vektoren
a1 = [mm] \pmat{ 1\\ -1 \\ 3 }, [/mm] a2 = [mm] \pmat{ 3 \\ 1 \\ 9 }, [/mm] a3 = [mm] \pmat{ -1 \\ 5 \\ -3 }
[/mm]
linear abhängig? |
Ich hab schon einen Lösungsansatz aber bin mir dann nicht ganz im klaren wie ich weiter vorgehen muss.
Aber jetzt mal dazu wie ich angefangen habe zu rechnen:
[mm] \lambda1 \pmat{ 1 \\ -1 \\ 3 } [/mm] + [mm] \lambda2 \pmat{ 3 \\ 1 \\ 9 } [/mm] + [mm] \lambda3 \pmat{ -1 \\ 5 \\ -3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
daraus ergibt sich das homogene lineare Gleichungssystem:
[mm] \lambda1 [/mm] + [mm] 3\lambda2 [/mm] - [mm] \lambda3 [/mm] = 0
[mm] -\lambda1 [/mm] + [mm] \lambda2 [/mm] + [mm] 5\lambda3 [/mm] = 0
[mm] 3\lambda1 [/mm] + [mm] 9\lambda2 [/mm] - [mm] 3\lambda3 [/mm] = 0
Jetzt habe ich versucht schrittweise die einzelnen Unbekannten mittels dem Gaußschen-Algorithmus zu ermitteln.
Da passt es doch wunderbar, dass ich die erste Gleichung + die zweite Gleichung mache, damit ich [mm] \lambda1 [/mm] eleminieren kann:
Dann erhalte ich als Ergebnis:
[mm] 3\lambda2 [/mm] + [mm] 4\lambda3 [/mm] = 0
Das gleiche Spiel dann mit der dritten Gleichung nur hab ich davor die erste Gleichung * -3 gemacht damit sie wiederum [mm] \lambda1 [/mm] eliminiert.
Als Ergebnis bekomme ich dann:
[mm] -2\lambda3 [/mm] = 0
[mm] \lambda3 [/mm] = 2
Und hier liegt auch schon mein erstes Problem. Es kürzt sich leider auch [mm] \lambda2 [/mm] mit raus und das sollte es eigentlich nicht.
===
Denn in meiner Lösung steht als Ergebnis für [mm] \lambda1 [/mm] = [mm] 4\lambda3 [/mm] und [mm] \lambda2 [/mm] = [mm] -\lambda3 [/mm] in der [mm] \lambda3 [/mm] frei wählbar ist.
Setzt man z.B. [mm] \lambda3 [/mm] = 1 so erhält man [mm] \lambda1 [/mm] = 4, [mm] \lambda2 [/mm] = -1, [mm] \lambda3 [/mm] = 1 . D.h. die Vektoren sind linear abhängig.
===
Da steig ich jetzt leider nicht mehr durch. Könnte mir das jemand ausführlich und leicht verständlich erklären? Leider komme ich nicht auf dieses Ergebnis :-(
Gruß xAmp
=====
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Fr 16.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
> Sind die Vektoren
> a1 = [mm]\pmat{ 1\\ -1 \\ 3 },[/mm] a2 = [mm]\pmat{ 3 \\ 1 \\ 9 },[/mm] a3 =
> [mm]\pmat{ -1 \\ 5 \\ -3 }[/mm]
> linear abhängig?
> Ich hab schon einen Lösungsansatz aber bin mir dann nicht
> ganz im klaren wie ich weiter vorgehen muss.
> Aber jetzt mal dazu wie ich angefangen habe zu rechnen:
>
> [mm]\lambda1 \pmat{ 1 \\ -1 \\ 3 }[/mm] + [mm]\lambda2 \pmat{ 3 \\ 1 \\ 9 }[/mm]
> + [mm]\lambda3 \pmat{ -1 \\ 5 \\ -3 }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> daraus ergibt sich das homogene lineare Gleichungssystem:
>
> [mm]\lambda1[/mm] + [mm]3\lambda2[/mm] - [mm]\lambda3[/mm] = 0
> [mm]-\lambda1[/mm] + [mm]\lambda2[/mm] + [mm]5\lambda3[/mm] = 0
> [mm]3\lambda1[/mm] + [mm]9\lambda2[/mm] - [mm]3\lambda3[/mm] = 0
>
> Jetzt habe ich versucht schrittweise die einzelnen
> Unbekannten mittels dem Gaußschen-Algorithmus zu
> ermitteln.
>
> Da passt es doch wunderbar, dass ich die erste Gleichung +
> die zweite Gleichung mache, damit ich [mm]\lambda1[/mm] eleminieren
> kann:
>
> Dann erhalte ich als Ergebnis:
> [mm]3\lambda2[/mm] + [mm]4\lambda3[/mm] = 0
Ich komm auf [mm] 4\lambda_2+4\lambda_3=0
[/mm]
also [mm] \lambda_2=-\lambda_3
[/mm]
>
> Das gleiche Spiel dann mit der dritten Gleichung nur hab
> ich davor die erste Gleichung * -3 gemacht damit sie
> wiederum [mm]\lambda1[/mm] eliminiert.
> Als Ergebnis bekomme ich dann:
>
> [mm]-2\lambda3[/mm] = 0
> [mm]\lambda3[/mm] = 2
Ich komm auf 0=0
Und was hast du da für eine komische Umstellung gemacht?
Du kannst doch hier nicht +2 rechnen.
Ich würde sagen du überprüfst das ganze nochmal.
Wenn du jetzt mal [mm] \lambda_3=-\lambda_2 [/mm] in die 1. und 3. Gleichung einsetzt und etwas kürzt, wirst du merken, dass das beides das selbe ist.
Du findest am Ende nach dem Umstellen einer der beiden Gleichungen heraus, dass [mm] -4\lambda_1=-\lambda_2=\lambda_3.
[/mm]
Also ist das ganze linear abhängig.
Gruß
Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Sa 17.11.2007 | | Autor: | xAmp |
Jo vielen Dank für deine Anstöße!
Bin jetzt auch auf die korrekte Lösung von dieser Aufgabe gekommen. Jedoch rechne ich gerade an einer anderen Aufgabe und steig dort auch nicht ganz durch *hmpf*. Naja hab das LGS einfach noch nicht zu 100% begriffen. :-/
|
|
|
|
