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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Homogenes / inhomogenes LGS
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Homogenes / inhomogenes LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Do 09.06.2011
Autor: Paivren

Hallo Leute!

Wir hatten neulich den Zusammenhang zwischen der Lösungsmenge eines homogenen und eines inhomogenen LGS.

Demnach besteht die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS IMMER aus einer speziellen Lösung des inhomogenen LGS UND der Lösung des zugehörigen homogenen LGS.

Wie aber sieht es mit einem Parameter in den Gleichungen aus?

[mm] \pmat{ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 & 1 } [/mm]

Mit dem Gauß-Verfahren vereinfacht:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & a & 1 \\ 0 & a-1 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & (a-1)(a+2) & a-1 } [/mm]

Betrachtet man nun die Fallunterscheidung für a=-2, so ergibt sich eine leere Lösungsmenge.

Nun schaut man sich das zugehörige homogene LGS an.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & a & 0 \\ 1 & a & 1 & 0 \\ a & 1 & 1 & 0 } [/mm]

Gauß-Verfahren:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & a & 0 \\ 0 & a-1 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & (a-1)(a+2) & 0 } [/mm]

Macht man hier die Fallunterscheidung a=-2, so ergibt sich keine leere Menge, sondern es gibt unendlich viele Lösungen!
Wie kann das sein, wenn die Lösungen von inhomogenen und homogenen LGS so wie am Anfang beschrieben zusammenhängen?

        
Bezug
Homogenes / inhomogenes LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:28 Do 09.06.2011
Autor: angela.h.b.


> Hallo Leute!
>  
> Wir hatten neulich den Zusammenhang zwischen der
> Lösungsmenge eines homogenen und eines inhomogenen LGS.
>  
> Demnach besteht die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS
> IMMER aus einer speziellen Lösung des inhomogenen LGS UND
> der Lösung des zugehörigen homogenen LGS.

Hallo,

dieLösungsmenge des inhomogenen Systems besteht aus einer speziellen Lösung, zu welcher der Lösungsraum des homogenen Systems addiert wird.

Nimmt man die spezielle Lösung und addiert zu dieser einen Vektor aus dem Lösungsraum des homogenen Systems, so hatman eine Lösung des inhomogenen Systems.

>  
> Wie aber sieht es mit einem Parameter in den Gleichungen
> aus?


Genauso.

>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>  
> Mit dem Gauß-Verfahren vereinfacht:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & a & 1 \\ 0 & a-1 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & (a-1)(a+2) & a-1 }[/mm]
>  
> Betrachtet man nun die Fallunterscheidung für a=-2, so
> ergibt sich eine leere Lösungsmenge.

Ja.
Denn die letzte der Gleichungen hat keine Lösung.
Du wirst von diesem System also keine spezielle Lösung finden können.
Deshalbist es schnurzpiepegal. ob das inhomogene System unendlich viele Lösungen hat. Es fehlt ja die spezielle Lösung, zu welcher man addieren müßte.

Gruß v. Angela

>  
> Nun schaut man sich das zugehörige homogene LGS an.
>  [mm]\pmat{ 1 & 1 & a & 0 \\ 1 & a & 1 & 0 \\ a & 1 & 1 & 0 }[/mm]
>  
> Gauß-Verfahren:
>  [mm]\pmat{ 1 & 1 & a & 0 \\ 0 & a-1 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & (a-1)(a+2) & 0 }[/mm]
>  
> Macht man hier die Fallunterscheidung a=-2, so ergibt sich
> keine leere Menge, sondern es gibt unendlich viele
> Lösungen!
>  Wie kann das sein, wenn die Lösungen von inhomogenen und
> homogenen LGS so wie am Anfang beschrieben zusammenhängen?


Bezug
                
Bezug
Homogenes / inhomogenes LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Do 09.06.2011
Autor: Paivren

Aber dann ist der Satz:
"Die Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems setzt sich immer aus einer speziellen Lösung des inhomogenen und der Lösung des homogenen Gleichungssystems zusammen" streng genommen doch aber nicht ganz korrekt, weil die Lösung ja auch leer sein kann, obwohl das homogene LGS ne Lösung hat, oder?

Bezug
                        
Bezug
Homogenes / inhomogenes LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Do 09.06.2011
Autor: wieschoo


> Aber dann ist der Satz:
>  "Die Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems setzt
> sich immer aus einer speziellen Lösung des inhomogenen und
> der Lösung des homogenen Gleichungssystems zusammen"

Was heißt denn: setzt sich zusammen?

Wenn der Lösungsraum vom homogenen GLS U ist. Dann ist die Gesamtlösung doch v+U. v ist eine spezielle Lösung die gar nicht oben existiert.


> streng genommen doch aber nicht ganz korrekt, weil die
> Lösung ja auch leer sein kann, obwohl das homogene LGS ne
> Lösung hat, oder?


Bezug
                                
Bezug
Homogenes / inhomogenes LGS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 Do 09.06.2011
Autor: Paivren

Ok Ok, ich habs kapiert :D

Danke für die Antworten!

Bezug
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