Homogenes und Inhomogenes LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 So 01.06.2014 | | Autor: | Mathe93 |
| Aufgabe | Es sei
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1& 0& 1 & 0 & 1 \\ 2& 3 & 4 & 5& 6 \\ 0& 2& 2 & 4 & 4 } [/mm] ∈ [mm] M(4x5,\IR)
[/mm]
[mm] b=\vektor{1\\1\\1\\1} [/mm] ∈ [mm] \IR^4 [/mm] und [mm] b'=\vektor{1\\1\\1\\-1} [/mm] ∈ [mm] \IR^4
[/mm]
Bestimmen Sie alle Lösungen
i) des homogenen LGS Ax=0
ii) des inhomogenen LGS Ax=b
iii) des inhomogenen LGS Ax=b' |
Ich habe ein Problem beim lösen des LGS.
Z.B bei i):
Zuerst wende ich Gauß an und bekomme:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0& 1& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 1& 2 \\ 0&0&0&0&0}
[/mm]
So jetzt muss ich ja Ax=0 berechnen also bildet sich dieses LGS:
1) a+b+c+d+e=0
2) b+d=0
3) c+d+2e=0
4) 0=0
Es gibt ja unendlich viele Lösungen da es 5 Variablen gibt aber nur 3 Gleichungen existieren. Aber habe ich mit dieser Aussage die Aufgabe gelöst?
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Hallo Mathe93,
> Es sei
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1& 0& 1 & 0 & 1 \\ 2& 3 & 4 & 5& 6 \\ 0& 2& 2 & 4 & 4 }[/mm]
> ∈ [mm]M(4x5,\IR)[/mm]
> [mm]b=\vektor{1\\1\\1\\1\\1}[/mm] ∈ [mm]\IR^4[/mm] und
> [mm]b'=\vektor{1\\1\\1\\1\\-1}[/mm] ∈ [mm]\IR^4[/mm]
b und b' müssen doch nur 4 Komponenten haben.
Nicht wie hier 5.
> Bestimmen Sie alle Lösungen
> i) des homogenen LGS Ax=0
> ii) des inhomogenen LGS Ax=b
> iii) des inhomogenen LGS Ax=b'
> Ich habe ein Problem beim lösen des LGS.
> Z.B bei i):
> Zuerst wende ich Gauß an und bekomme:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0& 1& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 1& 2 \\ 0&0&0&0&0}[/mm]
>
> So jetzt muss ich ja Ax=0 berechnen also bildet sich dieses
> LGS:
> 1) a+b+c+d+e=0
> 2) b+d=0
> 3) c+d+2e=0
> 4) 0=0
> Es gibt ja unendlich viele Lösungen da es 5 Variablen
> gibt aber nur 3 Gleichungen existieren. Aber habe ich mit
> dieser Aussage die Aufgabe gelöst?
>
Nein.
Die Lösungen sind explizit anzugeben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 So 01.06.2014 | | Autor: | Mathe93 |
>
> b und b' müssen doch nur 4 Komponenten haben.
> Nicht wie hier 5.
>
Stimmt hab mich vertippt und es verbessert danke für den Hinweis!
>
> Nein.
>
> Die Lösungen sind explizit anzugeben.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ok und wie gebe ich das explizit an wenn ich auf keine richtige Lösung komme?
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Hallo Mathe93,
> >
> > b und b' müssen doch nur 4 Komponenten haben.
> > Nicht wie hier 5.
> >
> Stimmt hab mich vertippt und es verbessert danke für den
> Hinweis!
>
>
> >
> > Nein.
> >
> > Die Lösungen sind explizit anzugeben.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Ok und wie gebe ich das explizit an wenn ich auf keine
> richtige Lösung komme?
>
Die Matrix, die Du nach Anwendung von Gauss erhalten hast,
ist zunächst durch eine Nullzeile zu einer 5x5-Matrix zu ergänzen.
Ersetze dann die Nullen auf der Diagonalen durch "-1" en,
Bringe dann die letzten 2 Spalten auf die rechte Seite.
Sorge dann dafür, daß die Lösungen einfacher ablesbar sind.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 01.06.2014 | | Autor: | Mathe93 |
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> Die Matrix, die Du nach Anwendung von Gauss erhalten hast,
> ist zunächst durch eine Nullzeile zu einer 5x5-Matrix zu
> ergänzen.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0& 1& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 1& 2 \\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0}
[/mm]
Das habe ich noch verstanden.
> Ersetze dann die Nullen auf der Diagonalen durch "-1"
> en,
Damit ich die Lösung nicht verfälsche muss ich ja;
[mm] \pmat{ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0& -1& 0 & -1 & 0 \\ 0& 0 & -1 & -1& -2 \\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0}
[/mm]
> Bringe dann die letzten 2 Spalten auf die rechte Seite.
Wie meinst du das genau?
> Sorge dann dafür, daß die Lösungen einfacher ablesbar
> sind.
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 01.06.2014 | | Autor: | leduart |
hallo du hast doch den bzw die unbekannten Vektoren [mm] (x_1,x_2,...;x_5) [/mm] jetzt ist offensichtlich [mm] x_5 [/mm] beliebig, setze es r, [mm] x_4 [/mm] auch also setze es s dann folgen die anderen
Am Ende solltest du einen 2-d Lösungsraum haben mit der Basis [mm] v_1,v_2
[/mm]
alle Linearkombinationen [mm] rv_1+sv_2 [/mm] sind dann Lösungen. man sagt der kern ist 2d.
Gruss leduart
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Hallo,
gegeben hattest Du die Matrix A, und Du willst gerade eine Lösung des homogenen LGS
[mm] A*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{0\\0\\0\\0}
[/mm]
angeben.
Dazu hast Du die Matrix A in ZSF gebracht:
> [mm]\pmat{ \red{1} & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0& \red{1}& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & \red{1} & 1& 2\\0&0&0&0&0}[/mm].
Den Lösungsraum des homogenen LGS Ax=0 kannst Du damit so finden:
rot markiert sind die führenden Elemente der Nichtnullzeilen.
Sie stehen in Spalte 1,2,3.
Also kannst Du die 4. und 5. Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_5=t
[/mm]
[mm] x_4=s
[/mm]
bekommst Du aus Zeile 3: [mm] x_3+x_4+2x_5=0 [/mm] <==>
[mm] x_3=-x_4-2x_5=-s-2t,
[/mm]
aus Zeile 2: [mm] x_2+x_4=0 [/mm] <==>
[mm] x_2=-x_4=-s,
[/mm]
aus Zeile 1: [mm] x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0 [/mm] <==>
[mm] x_1=-(x_2+x_3+x_4+x_5)=s+s+2t-s-t=s+t.
[/mm]
Also haben die Lösungsvektoren die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{s+t\\-s\\-s-2t\\s\\t}=s*\vektor{1\\-1\\-1\\1\\0}+t*\vektor{1\\0\\-2\\0\\1},
[/mm]
und diese beiden Vektoren sind eine Basis des Lösungsraumes.
Für das inhomogene System kannst Du ganz ähnlich vorgehen.
Bringe die Matrix (A|b) auf Zeilenstufenform.
Entscheide, ob das System lösbar ist.
Markiere die führenden Elemente der Nichtnullzeilen.
Benenne die freien Variablen und stelle wie oben aus den Zeilen Gleichungen auf. Rechts des Gleichheitszeichen hast Du dann u.U. etwas anderes als die 0 stehen.
Mach mal, wenn's nicht gut klappt, kann Dir jemand helfen.
> > Die Matrix, die Du nach Anwendung von Gauss erhalten hast,
> > ist zunächst durch eine Nullzeile zu einer 5x5-Matrix
> zu
> > ergänzen.
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0& 1& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 1& 2 \\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0}[/mm]
>
> Das habe ich noch verstanden.
> > Ersetze dann die Nullen auf der Diagonalen durch "-1"
> > en,
> Damit ich die Lösung nicht verfälsche muss ich ja;
> [mm]\pmat{ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0& -1& 0 & -1 & 0 \\ 0& 0 & -1 & -1& -2 \\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0}[/mm]
>
> > Bringe dann die letzten 2 Spalten auf die rechte Seite.
> Wie meinst du das genau?
Verstehe ich gerade auch nicht so gut.
Evtl wollte er Dir den -1-Trick erklären.
Ich erkläre ihn so:
Bringe die Matrix in reduzierte (!) ZSF, also mit Nullen über den führenden Zeilenelementen und Einsen als führende Zeilenelemente:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0& 1& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 1& 2 \\ 0&0&0&0&0} [/mm]
--> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0& 1& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 1& 2 \\ 0&0&0&0&0} [/mm]
Schiebe Nullzeilen so ein, daß die Matrix quadratisch wird und die führenden Zeilenelemente auf der Hauptdiagonalen stehen.
--> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0& 1& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 1& 2 \\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0} [/mm]
Subtrahiere die Einheitsmatrix:
--> [mm] \pmat{ 0& 0 & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0& 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1& 2 \\ 0&0&0&-1&0\\ 0&0&0&0&-1} [/mm] .
Die Nichtnullspalten bilden eine Basis des homogenen LGS.
Beim inhomogenen LGS kannst Du ganz ähnlich vorgehen:
bring (A|b) auf reduzierte Zeilenstufenform.
schiebe ggf. Nullzeilen ein, so daß die matrix links quadratisch wird und die führenden Elemente der Nichtnullzeilen auf der Diagonalen sitzen.
Subtrahiere links die Einheitsmatrix.
In den Nichtnullspalten links findest Du eine Basis des Lösungsraumes des homogenen Systems, rechts eine spezielle Lösung.
Die Lösungsmenge L des inhomogenen Systems ist
L = spezielle Lösung + Lösungsraum des homogenen Systems.
Versuch's mal, bei Fragen hilft sicher jemand weiter.
LG Angela
> > Sorge dann dafür, daß die Lösungen einfacher
> ablesbar
> > sind.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 01.06.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Wow deine Antwort war einfach super!
Ich habe jetzt bei ii) mal rumprobiert und habe das raus:
Hier mal meine schritte:
Erstens ZST von A|b
[mm] A=\pmat{ 1 & 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 1 \\ 2& 3& 4& 5& 6& 1\\ 0& 2& 2& 4& 4& 1}
[/mm]
wird zu:
[mm] A=\pmat{ 1 & 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 1& 2& 1/2 \\ 0&0&0&0&0&0&}
[/mm]
Und dann das LGS:
1) [mm] x_1 +x_3 +x_5 [/mm] = 1
2) [mm] x_2 +x_4 [/mm] = 0
3) [mm] x_3 [/mm] = -1
4) [mm] x_4 +x_5 [/mm] = 1/2
setze [mm] x_5= [/mm] t ergibt sich folgendes:
[mm] 1)x_1= [/mm] 2-t
2) [mm] x_2=-1/2+t
[/mm]
3) [mm] x_3=-1
[/mm]
4) [mm] x_4=1/2-t
[/mm]
5) [mm] x_5=t
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \vektor{x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5}= t*\vektor{-1\\ 1\\ 0\\-1\\ 1}+\vektor{2\\ -1/2\\ -1\\ 1/2\\0}
[/mm]
Aber ich muss ja was falsch gemacht haben da der Vektor [mm] \vec{b} [/mm] ja nur 4 Spalten hat mein Lösungsvektor aber 5...
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> Wow deine Antwort war einfach super!
> Ich habe jetzt bei ii) mal rumprobiert und habe das raus:
> Hier mal meine schritte:
> Erstens ZST von A|b
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 1 \\ 2& 3& 4& 5& 6& 1\\ 0& 2& 2& 4& 4& 1}[/mm]
>
> wird zu:
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 1& 2& 1/2 \\ 0&0&0&0&0&0&}[/mm]
Hallo,
ich glaube, Du hast Dich auf dem Weg zur ZSF verrechnet.
Hattest Du sie nicht zuvor schonmal anders?
Meiner Rechnung nach hat die Matrix den Rang 3, also 2 freie Variablen.
Aber wenn wir diese "Kleinigkeit" unbeachtet lassen, sieht es aus, als hättest Du verstanden, wie es geht.
>
> Und dann das LGS:
> 1) [mm]x_1 +x_3 +x_5[/mm] = 1
> 2) [mm]x_2 +x_4[/mm] = 0
> 3) [mm]x_3[/mm] = -1
> 4) [mm]x_4 +x_5[/mm] = 1/2
>
> setze [mm]x_5=[/mm] t ergibt sich folgendes:
> [mm]1)x_1=[/mm] 2-t
> 2) [mm]x_2=-1/2+t[/mm]
> 3) [mm]x_3=-1[/mm]
> 4) [mm]x_4=1/2-t[/mm]
> 5) [mm]x_5=t[/mm]
> Daraus folgt:
> [mm]\vektor{x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5}= t*\vektor{-1\\ 1\\ 0\\-1\\ 1}+\vektor{2\\ -1/2\\ -1\\ 1/2\\0}[/mm]
>
> Aber ich muss ja was falsch gemacht haben da der Vektor
> [mm]\vec{b}[/mm] ja nur 4 Spalten hat mein Lösungsvektor aber 5...
Daß der Lösungsvektor 5 Einträge hat, ist völlig richtig.
A hat doch 5 Spalten, und wenn man sie mit einem Spaltenvektor multiplizieren will, muß dieser daher 5 Einträge haben.
Die Lösungen von Ax=b sind diejenigen Vektoren des [mm] \IR^5, [/mm] die bei Multiplikation mit A auf b abgebildet werden.
LG Angela
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