Homomorphiesatz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:54 Mi 30.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] f: V \to W [/mm] eine lineare Abb. zwischen K-Vektorräumen.
[mm] \overline{f}:V/Kern(f) \to Bild(f) [/mm], mit [mm] \overline{f}(v+Kern(f))=f(v)[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Guten Morgen,
ich glaube, ich verstehe den Homomorphiesatz nicht so richtig:
Bedeutet er, dass bereits der Faktorraum [mm] V/Kern(f) [/mm] das komplette Bild von f erzeugt ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Mi 30.01.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Susanne!
> Sei [mm]f: V \to W[/mm] eine lineare Abb. zwischen K-Vektorräumen.
> [mm]\overline{f}:V/Kern(f) \to Bild(f) [/mm], mit
> [mm]\overline{f}(v+Kern(f))=f(v)[/mm]
> ich glaube, ich verstehe den Homomorphiesatz nicht so
> richtig:
> Bedeutet er, dass bereits der Faktorraum [mm]V/Kern(f)[/mm] das
> komplette Bild von f erzeugt ?
Zunächst einmal fehlt die eigentliche Aufgabe. Sie besteht hoffentlich darin, zu zeigen, daß [mm] \overline{f} [/mm] ein Isomorphismus ist. Jetzt zu deiner Frage. Sie ist schlecht um nicht zu sagen falsch formuliert. Die Vektorräume V, V/Kern(f) und W haben (als Mengen) nichts miteinander zu tun. Das Bild von f ist ein Unter-VR von W. V/Kern(f) ist ein algebraisches Konstrukt, was ganz woanders herumliegt. Also kann letzteres so ohne weiteres nicht das Bild von f erzeugen. Dazu müßte es da ja drin enthalten sein.
Richtig ist, daß die beiden isomorph sind und daß die aus f abgeleitete Abbildung [mm] \overline{f} [/mm] einen Isomorphismus liefert. Und streng genommen kann man das auch nur so formulieren. Daran sollte man sich auch so lange halten, bis man mit diesen Termini völlig sicher umgehen kann, später darf man dann etwas lässiger werden und an passenden Stellen 'gleich' statt 'isomorph' sagen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Mi 30.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
Guten Morgen Dieter,
vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort.
> Zunächst einmal fehlt die eigentliche Aufgabe. Sie besteht
> hoffentlich darin, zu zeigen, daß [mm]\overline{f}[/mm] ein
> Isomorphismus ist. Jetzt zu deiner Frage. Sie ist schlecht
Das war keine Aufgabe, sondern eine Aussage im Skript. Aber es ist genau wie Du sagst, bei der Aussage steht noch ...dann sind ... ein Isomorphismus.
> um nicht zu sagen falsch formuliert. Die Vektorräume V,
> V/Kern(f) und W haben (als Mengen) nichts miteinander zu
> tun. Das Bild von f ist ein Unter-VR von W. V/Kern(f) ist
> ein algebraisches Konstrukt, was ganz woanders herumliegt.
> Also kann letzteres so ohne weiteres nicht das Bild von f
> erzeugen. Dazu müßte es da ja drin enthalten sein.
Ah, ist es dann so, dass V/Kern(f) ein Nebenraum ist und der liegt nicht in V ?
> Richtig ist, daß die beiden isomorph sind und daß die aus f
> abgeleitete Abbildung [mm]\overline{f}[/mm] einen Isomorphismus
> liefert. Und streng genommen kann man das auch nur so
> formulieren. Daran sollte man sich auch so lange halten,
> bis man mit diesen Termini völlig sicher umgehen kann,
> später darf man dann etwas lässiger werden und an passenden
> Stellen 'gleich' statt 'isomorph' sagen.
Aber ein Isomorphismus ist doch auch bijektiv. Bedeutet das dann, dass ich aus Bild(f) wieder V/Kern(f) erzeugen könnte ? Oder werfe ich jetzt etwas durcheinander ?
Vielen Dank, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Mi 30.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ah, ist es dann so, dass V/Kern(f) ein Nebenraum ist und
> der liegt nicht in V ?
Das Wort 'Nebenraum' kenne ich so nicht, aber du meinst vermutlich das Richtige. Die Elemente von V/Kern(f) sind Nebenklassen, also selbst wieder Mengen, noch genauer Teilmengen von V.
> Aber ein Isomorphismus ist doch auch bijektiv. Bedeutet
> das dann, dass ich aus Bild(f) wieder V/Kern(f) erzeugen
> könnte ? Oder werfe ich jetzt etwas durcheinander ?
Ja, ein Isom. ist bijektiv. Nimm mal die Mengen {1, 2, 3, 4} und {a, b, c, d}. Zwischen ihnen gibt es eine (sogar mehrere) bijektive Abbildungen. Aber als Mengen sind sie erstmal völlig ungleich, ihre Elemente sind einmal Zahlen und bei der anderen Buchstaben.
Hier ist [mm] \overline{f} [/mm] die bijektive Abbildung. Deswegen ist jedes Element aus Bild(f) sogar Bild genau eines Elementes aus dem Nebenraum unter der Abbildung [mm] \overline{f}. [/mm] Da muß nichts mehr erzeugt werden.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Mi 30.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter,
Jetzt habe ich den Homomorphiesatz UND Faktorräumen etwas besser verstanden !
Vielen, vielen Dank für Deine gute Erklärung !
LG, Susanne.
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