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| Aufgabe | Sei f:G [mm] \to [/mm] H ein Homomorphismus der Gruppe G in die Gruppe H. Dann gilt
G/Ker(f) [mm] \cong [/mm] Im(f) |
Hallo!
Es geht nicht um eine Aufgabe, sondern um das Verständnis des Homomorphiesatzes.
Ich verstehe nicht genau, was mit G/Ker(f) gemeint ist.
Ich habe mir folgendes gedacht:
G/N ist ja die Menge aller Normalteiler
Ker(f) ist ein Normalteiler von G
Dann müsste ja G/Ker(f) die Menge aller Kerne von G sein
Aber das ist ja nur der eine!
Also irgendwas passt da noch nicht ganz!
Kann mir jemand helfen?
Das wäre super!
Grüßle, Lily
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Hallo,
> Sei f:G [mm]\to[/mm] H ein Homomorphismus der Gruppe G in die Gruppe
> H. Dann gilt
> G/Ker(f) [mm]\cong[/mm] Im(f)
> Hallo!
> Es geht nicht um eine Aufgabe, sondern um das Verständnis
> des Homomorphiesatzes.
> Ich verstehe nicht genau, was mit G/Ker(f) gemeint ist.
> Ich habe mir folgendes gedacht:
>
> G/N ist ja die Menge aller Normalteiler
> Ker(f) ist ein Normalteiler von G
> Dann müsste ja G/Ker(f) die Menge aller Kerne von G sein
> Aber das ist ja nur der eine!
Es handelt sich um eine Faktorgruppe, deren Elemente aus allen Nebenklassen des Kerns (inkl. dem Kern selbst) besteht. Hilft dir das schon weiter?
Gruß, Diophant
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> > Sei f:G [mm]\to[/mm] H ein Homomorphismus der Gruppe G in die
> Gruppe
> > H. Dann gilt
> > G/Ker(f) [mm]\cong[/mm] Im(f)
> Es handelt sich um eine Faktorgruppe, deren Elemente aus
> allen Nebenklassen des Kerns (inkl. dem Kern selbst)
> besteht. Hilft dir das schon weiter?
>
hm... ich bin mir noch nicht ganz sicher. Wenn ich dich richtig verstanden habe, bedeutet das folgendes
G/ker(f) ist die Menge der Nebenklassen des Kerns von f (und damit auch eine Menge von Normalteilern von G), die mit der Multiplikation gker(f)*hker(f)=ghker(f) eine Gruppe bilden.
stimmt das so weit?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Di 12.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei f:G [mm]\to[/mm] H ein Homomorphismus der Gruppe G in die
> > Gruppe
> > > H. Dann gilt
> > > G/Ker(f) [mm]\cong[/mm] Im(f)
>
> > Es handelt sich um eine Faktorgruppe, deren Elemente aus
> > allen Nebenklassen des Kerns (inkl. dem Kern selbst)
> > besteht. Hilft dir das schon weiter?
> >
> hm... ich bin mir noch nicht ganz sicher. Wenn ich dich
> richtig verstanden habe, bedeutet das folgendes
>
> G/ker(f) ist die Menge der Nebenklassen des Kerns von f
> (und damit auch eine Menge von Normalteilern von G), die
> mit der Multiplikation gker(f)*hker(f)=ghker(f) eine Gruppe
> bilden.
>
> stimmt das so weit?
Ja.
FRED
>
> Grüßle, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Di 12.11.2013 | | Autor: | Mathe-Lily |
toll! 
DANKE!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Mi 13.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Lily,
> G/ker(f) ist die Menge der Nebenklassen des Kerns von f
> (und damit auch eine Menge von Normalteilern von G), die
> mit der Multiplikation gker(f)*hker(f)=ghker(f) eine Gruppe
> bilden.
ohne die Klammern stimmt das. Der Teil in den Klammern: "und damit auch eine Menge von Normalteilern von G" ist jedoch falsch. Der Kern [mm] $\ker [/mm] f$ selber ist ein Normalteiler von $G$, jede Nebenklasse davon die nicht gleich [mm] $\ker [/mm] f$ ist ist jedoch nichtmals eine Untergruppe und somit insbesondere auch kein Normalteiler von $G$.
Nebenklassen (die von der Untergruppe/vom Normalteiler verschieden sind) sind einfach Nebenklassen. Und (explizit!) nicht wieder Untergruppen oder Normalteiler.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Mathe-Lily |
achso! danke
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