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| Aufgabe | | Geben Sie die Homomorphismen der [mm] $S_3$ [/mm] in sich und alle Homomorphismen der zyklischen Gruppe mit 8 Elementen [mm] $Z_8$ [/mm] in sich an. |
Hallo Leute,
bis zur Hälfte habe ich diese Aufgabe schon gelöst. Für [mm] $S_3$ [/mm] habe ich 6 Elemente, falls [mm] $\phi$ [/mm] bijektiv ist. Für [mm] $Z_8$ [/mm] mit [mm] $\phi(8)=3$ [/mm] sind es 3 Elemente der Abbildung [mm] $\psi$, [/mm] falls diese auch bijektiv ist.
Wie gehe ich vor, wenn die Homomorphismen [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] nicht bijektiv sind?
Liebe Grüße
Christoph
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Es gibt triviale HM und ein HM erhält die Ordnung eines Elementes.
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Hallo wischoo,
> Es gibt triviale HM [mm] $\phi(e*e)=\phi(e)*\phi(e) [/mm] und ein HM erhält die Ordnung eines
> Elementes. Meinst du damit die höchste zu erreichende Ordnungszahl? Dann kämen 4 Homomorphismen raus. Muss ich diese konkret angeben oder reicht es zu sagen dass es 4 Möglichkeiten gibt?
Liebe Grüße
Christoph
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hi,
> Hallo wischoo,
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> > Es gibt triviale HM [mm]\phi(e*e)=\phi(e)*\phi(e)[/mm] und ein HM
> erhält die Ordnung eines
> > Elementes. Meinst du damit die höchste zu erreichende
> Ordnungszahl? Dann kämen 4 Homomorphismen raus.
Ich meinte, dass für Elemente [mm] $a,b\in [/mm] G$ mit unterschiedlichen Ordnungen $m$ bzw. $n$ nie für einen HM [mm] $\phi$ [/mm] folgendes gelten kann: [mm] $\phi(a)=b$.
[/mm]
> Muss ich
> diese konkret angeben oder reicht es zu sagen dass es 4
> Möglichkeiten gibt?
>
Die Aufgabe ist doch eindeutig gestellt?!
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