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| Aufgabe | Lemma:
Sei [mm] \phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G' ein Gruppenhomomorphismus.
(1) Ist N' normal in G', dann ist auch [mm] \phi^{-1}(N') [/mm] normal in G. Insbesondere ist [mm] ker(\phi ) [/mm] ein Normalteiler von G.
(2) Ist [mm] \phi [/mm] surjektiv und N normal in G, dann gilt auch [mm] \phi (N) [/mm] ist normal in G'. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir haben das bewiesen in der Vorlesung und ich verstehe den Beweis noch nicht so wirklich. Eigentlich hakt es nur an einer einzigen Stelle, aber die ist ziemlich wesentlich.
Wir haben gesagt, dass [mm] \phi^{-1}(N') [/mm] eine Untergruppe von G ist (anderes Lemma hatte das schon gezeigt). Dann sagen wir, dass g [mm] \in [/mm] G und [mm] n\in\phi^{-1}(N') [/mm] ist. Bis dahin alles klar. Jetzt kommt eine komische Rechnung aus der dann die Behauptung folgern soll:
[mm] \phi(gng^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(g)\phi(n)\phi(g)^1 [/mm] (bis hierhin klar, da Homomorphismus)
Unser Prof. sagt aber jetzt, dass
[mm] \phi(g)\phi(n)\phi(g)^{-1}\in \phi(g)N'\phi(g)^{-1} [/mm] = N'
Wie kann man folgern, dass das gleich N' sein soll?
Wenn das nämlich geht, dann verstehe ich den Rest, weil dann sagt er einfach nur noch, dass
[mm] g\phi^{-1}(N')g^{-1} \subset \phi^{-1}(N')
[/mm]
ist, was dann ja aus dem folgt, was ich nicht verstehe.
Wäre froh, über jeden Kommentar. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 So 30.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Lemma:
> Sei [mm]\phi[/mm] : G [mm]\to[/mm] G' ein Gruppenhomomorphismus.
> (1) Ist N' normal in G', dann ist auch [mm]\phi^{-1}(N')[/mm]
> normal in G. Insbesondere ist [mm]ker(\phi )[/mm] ein Normalteiler
> von G.
> (2) Ist [mm] \phi[/mm] surjektiv und N normal in G, dann gilt auch
> [mm]\phi (N)[/mm] ist normal in G'.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wir haben das bewiesen in der Vorlesung und ich verstehe
> den Beweis noch nicht so wirklich. Eigentlich hakt es nur
> an einer einzigen Stelle, aber die ist ziemlich
> wesentlich.
> Wir haben gesagt, dass [mm]\phi^{-1}(N')[/mm] eine Untergruppe von
> G ist (anderes Lemma hatte das schon gezeigt). Dann sagen
> wir, dass g [mm]\in[/mm] G und [mm]n\in\phi^{-1}(N')[/mm] ist. Bis dahin
> alles klar. Jetzt kommt eine komische Rechnung aus der dann
> die Behauptung folgern soll:
> [mm]\phi(gng^{-1})[/mm] = [mm]\phi(g)\phi(n)\phi(g)^1[/mm] (bis hierhin
> klar, da Homomorphismus)
> Unser Prof. sagt aber jetzt, dass
> [mm]\phi(g)\phi(n)\phi(g)^{-1}\in \phi(g)N'\phi(g)^{-1}[/mm] = N'
> Wie kann man folgern, dass das gleich N' sein soll?
N' ist doch normal in G' !!!!
Was bedeutet denn das ???
FRED
> Wenn das nämlich geht, dann verstehe ich den Rest, weil
> dann sagt er einfach nur noch, dass
> [mm]g\phi^{-1}(N')g^{-1} \subset \phi^{-1}(N')[/mm]
> ist, was dann
> ja aus dem folgt, was ich nicht verstehe.
>
> Wäre froh, über jeden Kommentar. :)
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