Homomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 So 18.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
ich sitze über einer Aufgabe und komme nicht weiter. Ich bin über jeden Hinweis sehr dankbar.
Aufgabe:
Es sei V ein K-Vektorraum und A [mm] \in [/mm] L(V;V). Für den Homomorphismus
AoA [mm] \in [/mm] L(V;V) schreiben wir kurz [mm] A^2. [/mm]
Zeige:
a) Stets ist Ker [A] [mm] \subseteq [/mm] Ker [mm] [A^2] [/mm] und Bild [mm] [A^2] \subseteq [/mm] Bild [A].
b) Ker [mm] [A^2]=Ker [/mm] [A] <====> Bild [A] [mm] \cap [/mm] Ker [A] ={0} .
c) Bild [mm] [A^2]= [/mm] Bild [A]<====> Bild [A] + Ker [A] = V
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 So 18.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
ich sitze über einer Aufgabe und komme nicht weiter. Ich
bin über jeden Hinweis sehr dankbar.
Aufgabe:
Es sei V ein K-Vektorraum und A [mm]\in[/mm] L(V;V). Für den
Homomorphismus AoA [mm]\in[/mm] L(V;V) schreiben wir kurz [mm]A^2.[/mm]
Zeige:
a) Stets ist Ker [A] [mm]\subseteq[/mm] Ker [mm][A^2][/mm] und Bild [mm][A^2] \subseteq[/mm] Bild [A].
b) Ker [mm][A^2]=Ker[/mm] [A] <====> Bild [A] [mm]\cap[/mm] Ker[A]{0}
c) Bild [mm][A^2]=[/mm] Bild [A]<====> Bild [A] + Ker [A] = V
Ich vergaß in meiner ersten Frage folgendes anzugeben:
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 So 18.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo didi,
mal ein paar Hinweise, wie man die Aufgabe angehen kann:
a) 1. Teil: Wähle einen beliebigen Vektor v aus Ker(A) und zeige, dass er dann auch in [mm] Ker(A^2) [/mm] liegen muss (einfach mal die Definition von x [mm] \in [/mm] Ker(A) hinschreiben, der Rest ergibt sich von allein). Der zweite Teil geht genauso, nur nimmst Du da ein x [mm] \in Bild(A^2) [/mm] und zeigst, dass es auch in Bild(A) liegt.
b)"=>": das kann man indirekt machen: nimm einen Vektor [mm] x\not=0, [/mm] der in Ker(A) [mm] \cap [/mm] Bild(A) liegt. Dann zeige, dass dessen Urbild in [mm] Ker(A^2), [/mm] aber nicht in Ker(A) liegt.
"<=" Hier ist die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, das beweist man meistens, indem man "[mm]\subseteq[/mm]" und "[mm]\supseteq[/mm]" zeigt. [mm] \supseteq [/mm] gilt aber nach a) immer, d.h. es bleibt noch [mm] \subseteq. [/mm] Also nimmst Du einen Vektor aus [mm] Ker(A^2) [/mm] und zeigst unter verwendung von Bild [A] [mm] \cap [/mm] Ker [A] ={0}, dass dieser auch in Ker(A) liegen muss (Tipp: was gilt für sein Urbild unter A?).
c) kannst Du dann nochmal ganz alleine versuchen.
Viel Erfolg!
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Di 20.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
Besten Dank für Deine Antwort.
Ich muß aber noch mal nachhaken:
1a:
Zu zeigen ist :Ker A [mm] \subseteq [/mm] Ker [mm] A^2. [/mm] Die Definition von Kern sagt:
ker f:={ x [mm] \in [/mm] V | f(x)=0 },
oder auf unser Beispiel angewendet:
ker A := { x [mm] \in [/mm] V | f(x)=0 }.
Mir ist unklar:
1. Was mache ich mit Ker [mm] A^2? [/mm] wird das zu [mm] {x^2 \in V |f(x^2)=0} [/mm] ???
2. Wie zeige ich, dass f(x) [mm] \subseteq f(x^2) [/mm] ???
1b:
Zu zeigen ist : Bild [mm] A^2 \subseteq [/mm] Bild A. Die Def. vom Bild sagt:
Bild A = span (A).
Mir ist unklar:
1. Was fange ich damit an?
2. Wie zeigt man, dass Bild [mm] A^2 \subseteq [/mm] Bild A ???
Bin über jeden kleinen Tipp sehr dankbar.
Gruß Didi_160
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Moin Didi,
> Hi,
> Besten Dank für Deine Antwort.
> Ich muß aber noch mal nachhaken:
> 1a:
> Zu zeigen ist :Ker A [mm]\subseteq[/mm] Ker [mm]A^2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die Definition von
> Kern sagt:
> ker f:={ x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V | f(x)=0 },
> oder auf unser Beispiel angewendet:
> ker A := { x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V | f(x)=0 }.
>
> Mir ist unklar:
> 1. Was mache ich mit Ker [mm]A^2?[/mm] wird das zu [mm]{x^2 \in V |f(x^2)=0}[/mm]
> ???
Nö, sondern [mm] Ker(f^2)=\{v|f(f(v))=0\}, [/mm]
und wenn halt schon f(v)=0 gilt, so ist f(f(v))=f(0)=0, oder ?
> 2. Wie zeige ich, dass f(x) [mm]\subseteq f(x^2)[/mm] ???
Gar nicht, sondern Du zeigst: [mm] f(x)=0\:\Longrightarrow \: [/mm] f(f(x))=0.
>
> 1b:
> Zu zeigen ist : Bild [mm]A^2 \subseteq[/mm] Bild A. Die Def. vom
> Bild sagt:
> Bild A = span (A).
>
Du meinst: Bild (A) wird von den Spalten von A aufgespannt, ok.
es ist halt [mm] Bild(A)=\{A\cdot x|x\in V\}
[/mm]
Falls nun [mm] A\in K^{n\times n}, [/mm] so wollen wir zeigen: Bild [mm] (A^2)\subseteq [/mm] Bild (A). Sei also
[mm] z\in Bild(A^2), [/mm] d.h. es gibt [mm] x\in [/mm] V mit [mm] z=A\cdot A\cdot [/mm] x, und dann ist also z = [mm] A\cdot [/mm] y für den Vektor [mm] y=A\cdot [/mm] x und somit [mm] z\in [/mm] Bild(A).
> Mir ist unklar:
> 1. Was fange ich damit an?
> 2. Wie zeigt man, dass Bild [mm]A^2 \subseteq[/mm] Bild A ???
>
> Bin über jeden kleinen Tipp sehr dankbar.
>
Bitteschön.
Gruss,
Mathias
> Gruß Didi_160
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Ich komme mit den Aufgaben b) und c) noch nicht klar.
Kenn mir jemand dazu einen Tipp geben?
Gruß didi_160
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 24.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Do 22.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hat keiner eine Idee zu der Aufgabe???
Gruß didi_160
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