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| Aufgabe | | Zeigen Sie, daß ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn sein Kern nur aus dem neutralen Element besteht. |
Hallo,
habe die Aufgabe so zeigen können, ist die Aufgabe dann bewiesen ?
z.Z. Ein Homomorphismus A : [mm] G_{1} \to G_{2} [/mm] ist genau dann injektiv, wenn Kern(A) = { [mm] e_{1} [/mm] }.
Ist Kern(A) = { [mm] e_{1} [/mm] } und sind a,b [mm] \in G_{1} [/mm] mit A(a) = A(b). Dann gilt [mm] e_{2} [/mm] = [mm] A(a)\* A(a)^{-1} [/mm] = [mm] A(a)\* A(b^{-1}) [/mm] = [mm] A(a\circ b^{-1}). [/mm] Daraus folgt [mm] a\circ b^{-1} [/mm] = [mm] e_{1}, [/mm] und damit a = b.
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Hallo MATH-MATH,
> Zeigen Sie, daß ein Gruppenhomomorphismus genau dann
> injektiv ist, wenn sein Kern nur aus dem neutralen Element
> besteht.
> Hallo,
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> habe die Aufgabe so zeigen können, ist die Aufgabe dann
> bewiesen ?
>
> z.Z. Ein Homomorphismus A : [mm] G_{1} \to G_{2} [/mm] ist genau dann
> injektiv, wenn Kern(A) = { [mm] e_{1} [/mm] }.
>
> Ist Kern(A) = { [mm] e_{1} [/mm] } und sind a,b [mm] \in G_{1} [/mm] mit A(a) =
> A(b). Dann gilt [mm] e_{2} [/mm] = [mm] A(a)\* A(a)^{-1} [/mm] = [mm] A(a)\* A(b^{-1}) [/mm]
> = [mm] A(a\circ b^{-1}).
[/mm]
Beim zweiten Gleichheitszeichen, also von [mm]A(a)\* A(a)^{-1}[/mm] zu [mm]A(a)\* A(b^{-1})[/mm] machst du meiner Meinung nach einen nicht-offensichtlichen Schritt, außer ihr hattet das schon in der Vorlesung.
Ich meine, dass grundsätzlich erstmal nur gilt: [mm] A(a)^{-1} [/mm] = [mm] A(b)^{-1}, [/mm] und dass das dasselbe wie [mm] A(b^{-1}) [/mm] ist, müsstet du noch genauer begründen bzw. beweisen, wenn ihr es noch nicht in der Vorlesung bewiesen habt.
Daraus folgt [mm]a\circ b^{-1}[/mm] = [mm]e_{1},[/mm]
> und damit a = b.
Der Rest ist dann ok ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 So 29.11.2009 | | Autor: | andreas |
hi
beachte, dass hier eine äquivalenz zu zeigen es - bei dir fehlt noch die hinrichtung (die aber einfacher ist, als die von dir schon geteigte richtung.
grüße
andreas
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