Homomorphismus: Bild bestimmen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Abb. ein Homomorphismus ist,
berechnen Sie Bild und Kern
[mm] \gamma: [/mm] (Q, [mm] +)^{3} [/mm] -> (Q, [mm] +)^{2} [/mm] mit (x,y,z) -> (x+2z,3x-y) |
Hallo,
ich muss Euch leider wieder nerven...
den Homomorphismus-Beweis habe ich vertanden...
Auch den Kern konnte ich ausrechnen:
0 = x+2z => x = -2z
0 = 3x-y => -6z = y
[mm] Ker(\gamma) [/mm] = {(x,y,z) | [mm] \gamma [/mm] (x,y,z) = 0 ) = 0 }
= { (-2z,-6z,z) | z [mm] \in \IQ [/mm] }
Nun aber zum Bild...
Was das Bild ansich ist meine ich zu verstehen...
Es ist ja das, was beim Homomorphismus "rauskommt.."
Also in meinem Fall (Q, [mm] +)^{2}
[/mm]
Nun habe ich hier aber als lösung stehen:
[mm] \vektor{a \\ b} \in \IQ^{2}
[/mm]
wobei
a = x +2z
b = 3x-y
dann steht hier:
[mm] \gamma [/mm] (0, -b, [mm] \bruch{a}{2} [/mm] ) = [mm] \vektor{a \\ b}
[/mm]
Bild [mm] (\gamma) [/mm] = [mm] (\IQ, +)^{2}
[/mm]
Hier habe ich 2 Probleme:
1. Ich verstehe nicht warum er das macht :)
2. Habe als ersten Schritt [mm] (0,-b,\bruch{a}{2}) [/mm] in den Hom. eingesetzt..
Ich vermute mal das Ergebnis müsste [mm] \vektor{a\\b} [/mm] sein... D.h.
vllt. hab ich falsch von der Tafel abgeschrieben ? Weil mit "-b" komme ich auf
[mm] \vektor{a\\-b}.
[/mm]
Dankeschön im Voraus,
steffi :)
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Hallo Steffi1988,
> Zeigen Sie, dass die folgende Abb. ein Homomorphismus ist,
> berechnen Sie Bild und Kern
>
> [mm]\gamma:[/mm] (Q, [mm]+)^{3}[/mm] -> (Q, [mm]+)^{2}[/mm] mit (x,y,z) ->
> (x+2z,3x-y)
> Hallo,
> ich muss Euch leider wieder nerven...
>
> den Homomorphismus-Beweis habe ich vertanden...
>
> Auch den Kern konnte ich ausrechnen:
>
> 0 = x+2z => x = -2z
> 0 = 3x-y => -6z = y
>
> [mm]Ker(\gamma)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {(x,y,z) | [mm]\gamma[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(x,y,z) = 0 ) = 0 }
> = { (-2z,-6z,z) | z [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
>
> Nun aber zum Bild...
> Was das Bild ansich ist meine ich zu verstehen...
>
> Es ist ja das, was beim Homomorphismus "rauskommt.."
>
> Also in meinem Fall (Q, [mm]+)^{2}[/mm]
>
> Nun habe ich hier aber als lösung stehen:
>
> [mm]\vektor{a \\ b} \in \IQ^{2}[/mm]
>
> wobei
>
> a = x +2z
> b = 3x-y
>
>
> dann steht hier:
>
> [mm]\gamma[/mm] (0, -b, [mm]\bruch{a}{2}[/mm] ) = [mm]\vektor{a \\ b}[/mm]
>
> Bild [mm](\gamma)[/mm] = [mm](\IQ, +)^{2}[/mm]
>
> Hier habe ich 2 Probleme:
>
> 1. Ich verstehe nicht warum er das macht :)
Es ist ja zu zeigen, daß es mindestens ein Element aus [mm]\left(\IQ,+\right)^{3}[/mm] gibt, das auf [mm]\pmat{a \\ b} \in \left(\IQ,+\right)^{2}[/mm] abgebildet wird.
Mit [mm]\pmat{0 \\ -b \\ \bruch{a}{2}[/mm] ist so ein Element gefunden.
Damit ist Bild[mm]\left(\gamma\right)=(\IQ, +)^{2}[/mm]
>
> 2. Habe als ersten Schritt [mm](0,-b,\bruch{a}{2})[/mm] in den Hom.
> eingesetzt..
> Ich vermute mal das Ergebnis müsste [mm]\vektor{a\\b}[/mm] sein...
> D.h.
> vllt. hab ich falsch von der Tafel abgeschrieben ? Weil
> mit "-b" komme ich auf
> [mm]\vektor{a\\-b}.[/mm]
>
Von der Tafel hast Du richtig abgeschrieben:
[mm]x=0, \ y=-b, \ z= \bruch{a}{2}[/mm]
[mm]x+2z=0+2*\bruch{a}{2}=a[/mm]
[mm]3x-y=3*0-\left(-b\right)=0+b=b[/mm]
>
>
> Dankeschön im Voraus,
> steffi :)
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Vielen lieben Dank, habe alles verstanden.
Gruß,
steffi
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Habe noch eine kleine Frage merke ich gerade:
>
> Bild [mm](\gamma)[/mm] = [mm](\IQ, +)^{2}[/mm]
Woher wissen wir das das erste Element im Vektor 0 ist?
und z.b. der Vektor nicht so aussieht:
> [mm]\gamma[/mm] (-b, [mm]\bruch{a}{2}[/mm], 0 ) = [mm]\vektor{a \\ b}[/mm]
Hoffe ihr wisst was ich meine
Lg
steffi
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Hallo Steffi1988,
> Habe noch eine kleine Frage merke ich gerade:
>
>
>
> >
> > Bild [mm](\gamma)[/mm] = [mm](\IQ, +)^{2}[/mm]
>
> Woher wissen wir das das erste Element im Vektor 0 ist?
> und z.b. der Vektor nicht so aussieht:
>
> > [mm]\gamma[/mm] (-b, [mm]\bruch{a}{2}[/mm], 0 ) = [mm]\vektor{a \\ b}[/mm]
Dazu lösen wir die gegeben Gleichungnen nach z bzw. y auf:
[mm]x+2z =a \Rightarrow z= \bruch{1}{2}a-\bruch{1}{2}x[/mm]
[mm]3x-y=b \Rightarrow y = 3x-b[/mm]
[mm]\Rightarrow \pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{0 \\ -b \\ \bruch{1}{2}a} + x *\pmat{1 \\ 3 \\ -\bruch{1}{2}}[/mm]
Das Element [mm]\pmat{1 \\ 3 \\ -\bruch{1}{2}} \in \left(Q, \ +\right)^{3}[/mm] wird auf [mm]\pmat{0 \\ 0} \in \left(Q, \ +\right)^{2}[/mm] abgebildet, liegt also im [mm]Kern\left(\gamma\right)[/mm].
Das Element [mm]\pmat{0 \\ -b \\ \bruch{a}{2}} \in \left(Q, \ +\right)^{3}[/mm] wird auf [mm]\pmat{a \\ b} \in \left(Q, \ +\right)^{2}[/mm] abgebildet, liegt also im [mm]Bild\left(\gamma\right)[/mm].
>
> Hoffe ihr wisst was ich meine
>
> Lg
> steffi
Gruß
MathePower
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Ich kann Dir leider nicht ganz folgen....
Ich dachte eigentlich bis jetzt immer:
Um das Bild zu berechnen:
Habe die Abbildungsvorschrift.
z.B. x+1,y+2 von [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}
[/mm]
Dies schreibe ich als Vektor und setze es gleich a,b:
[mm] \vektor{x+1 \\ y+2} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b}
[/mm]
Dies löse ich dann auf, so dass ich dann stehen habe:
z.B: x =a+10 , y = b+20
Das schreibe ich dann so auf: [mm] \gamma{a+10,b+20}.
[/mm]
Wenn ich den Homomorphismus dann "ausführe" erhalte ich - wenn alles gut klappt mein [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] wieder.
=============
Um den Kern zu bestimmen:
Habe die Abbildungsvorschrift.
z.B. x+1,y+2 von [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}
[/mm]
Dies schreibe ich als Vektor und setze es gleich dem Nullvektor:
[mm] \vektor{x+1 \\ y+2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}.
[/mm]
Nun löse ich wiede rnach x, y auf.
Das ist dann mein Kern.
Korrigiere mich bitte wenn ich falsch liege. Bin irgendwie durcheinander :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 So 23.03.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
keiner einen Tip für mich ? :(
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Hallo Steffi1988,
> Ich kann Dir leider nicht ganz folgen....
>
> Ich dachte eigentlich bis jetzt immer:
>
>
> Um das Bild zu berechnen:
>
> Habe die Abbildungsvorschrift.
> z.B. x+1,y+2 von [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
> Dies schreibe ich
> als Vektor und setze es gleich a,b:
>
> [mm]\vektor{x+1 \\ y+2}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ b}[/mm]
>
> Dies löse ich dann auf, so dass ich dann stehen habe:
> z.B: x =a+10 , y = b+20
Hier steht dann da [mm]x=a-1, \ y=b-2[/mm]
>
> Das schreibe ich dann so auf: [mm]\gamma{a+10,b+20}.[/mm]
[mm]\gamma\left({a-1,b-2}\right)[/mm]
>
> Wenn ich den Homomorphismus dann "ausführe" erhalte ich -
> wenn alles gut klappt mein [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] wieder.
>
>
> =============
>
> Um den Kern zu bestimmen:
> Habe die Abbildungsvorschrift.
> z.B. x+1,y+2 von [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
> Dies schreibe ich
> als Vektor und setze es gleich dem Nullvektor:
>
> [mm]\vektor{x+1 \\ y+2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}.[/mm]
>
> Nun löse ich wiede rnach x, y auf.
> Das ist dann mein Kern.
Ok.
>
>
> Korrigiere mich bitte wenn ich falsch liege. Bin irgendwie
> durcheinander :-(
Gruß
MathePower
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