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Homomorphismus zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Do 14.07.2016
Autor: DerPinguinagent

Hallo liebe Community,

im Rahmen meiner Klausurvorbereitung habe ich mal wieder eine Frage an euch. Kann mir jemand zeigen, wie ich folgendes rechne:

F: V --> W

[mm] \lambda v_{1}+..+\lambda_{n}v_{n} [/mm] --> [mm] \lambda w_{1}+..+\lambda_{n}w_{n} [/mm]

z.z. [mm] F\in Hom_{k}(V,W) [/mm]

Der genaue Satz lautet: V,W K-VR, [mm] (v_{1},..., v_{n}) [/mm] Basis von V und [mm] (w_{1},..., w_{n}) [/mm] Familie in W. Dann ex. genau ein [mm] F\in Hom_{k}(V,W) [/mm] mit [mm] F(v_{1})=w_{1},..., F(v_{n})=w_{n}. [/mm]

Dies ist ja ein Existenz-und Eindeutigkeitsbeweis. Letzteres ist Klar und habe ich schon bewiesen nur bei der Existenz habe ich noch Schwierigkeiten.

Vielen Dank für euere Hilfe!

DerPinguinagent

        
Bezug
Homomorphismus zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Do 14.07.2016
Autor: fred97

Sei v [mm] \in [/mm] V. Da $ [mm] (v_{1},..., v_{n}) [/mm] $ eine  Basis von V ist, gibt es eindeutig bestimmte  [mm] \lambda_1,..., \lambda_n \in [/mm] K mit

$v= [mm] \lambda_1 v_{1}+..+\lambda_{n}v_{n}. [/mm] $

Definiere

  $ F(v):= [mm] \lambda_1 w_{1}+..+\lambda_{n}w_{n}$ [/mm]

Zeige, dass F das Gewünschte leistet.

FRED

  

Bezug
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