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Homotopie: homotope Wege
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:38 Fr 25.11.2005
Autor: kunzm

Hallo,
ich könnte mal wieder einen kleinen Tipp gebrauchen. Es geht um folgende Aufgabe die ich hier einschließlich meines Ansatzes mal einfüge:

[mm] \newcommand{\bc}{\beginn{center}} \newcommand{\ec}{\end{center}} \begin{flushleft} \textbf{Aufgabe} Nachtrag aus der Vorlesung\\[12pt] \textit{Zeige, dass sternförmige Gebiete einfach zusammenhängend sind.}\\[12pt] Definition:\\ \textit{Ein Gebiet $D \subseteq \mathbb{C}$ heisst sternförmig (mit Zentrum c), falls}\\ \bc $\forall z \in D : [z,c] \in D$\\[6pt] \ec Definition:\\ \textit{$D \in \mathbb{C}$ heisst einfach zusammenhängend wenn, wenn jeder geschlossene Weg in D nullhomotop ist.}\\[6pt] Definition:\\ \textit{Ein geschlossener Weg $\gamma$ heisst nullhomotop, wenn $\gamma$ zu einem konstanten Weg homotop ist.}\\[6pt] Definition:\\ \textit{ Seien $\gamma_{0},\gamma_{1}:[0,1]\rightarrow D$ zwei geschlossene Wege in D. Dann ist $\gamma_{0}$ zu $\gamma_{1}$ homotop in D, wenn es eine stetige Funktion $\Gamma:[0,1] \times [0,1] \rightarrow D$ so gibt, dass}\\ \bc $\Gamma(s,0)=\gamma_{0}(s)$ und $\Gamma(s,1)=\gamma_{1}(s)$ für $s \in [0,1]$\\ \ec \textit{und} \bc $\Gamma(0,t)=\Gamma(1,t)$ für $t \in [0,1]$. \ec \end{flushleft} [/mm]

Ich habe mir gedacht da D ja sternförmig, also jeder Punkt aus D auf direktem Wege erreichbar, ist, kann ich ja beliebig (und passend]) wählen. Wenn das reicht, wie könnte ich das am besten formulieren, bzw wie kann ich das fundierter begründen?

Grüße und danke, Martin


        
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Homotopie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Fr 25.11.2005
Autor: SEcki


> Ich habe mir gedacht da D ja sternförmig, also jeder Punkt
> aus D auf direktem Wege erreichbar, ist, kann ich ja
> beliebig (und passend]) wählen.

wie was wählen? Was kannst du passend wählen? Das du jeden Punkt mit einem fixierten Punkt [m]x_0[/m] erreichen kannst, reicht nicht, überhaupt nicht. Aber das einzig plausible ist wohl, eine Homotopoie anzugeben (also wirklich hinschreiben), zwischen deinem Weg und der konstanten Abbildung, die alles auf das Zentrum wirft. Die Verbindungswege haben ja besondere Gestalt - welche?

Btw: das ganze anschaulich betrachtet: jeden Pnukt vom weg kannst du mit einer geraden Linie zu c verbinden. Wenn du das mal im [m]\IR^2[/m] andeutest, siehst du, dass dies einen Kegel gibt (vor allem wenn der Weg zB ein Kreis war ;-)). Die Idee ist jetzt, den Weg am Kegel zur Spitze rutschen zu lassen - und das gibt die Homotopie.

Wenn du nicht weiterkommst, melde dich wieder - wir kriegen schon die Homotopie dirket hingeschrieben.

SEcki

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Homotopie: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Sa 26.11.2005
Autor: kunzm

Ok, ok, alles ein bisschen schnell..

Auf jeden Fall ist die besondere Gestalt meiner Wege dadurch gegeben,
dass diese eben geschlossen sind. Daraus nehme ich an entsteht dann mit
den Verbindungen zum Zentrum auch dieser Kegel. Das ist in der Tat anschaulich.

Nur, wie kann ich Wege formal quasi an der Kegelhülle nach oben schieben, und wie kann ich diese Definition von [mm]\gamma[/mm] und [mm]\Gamma[/mm]
damit in Relation setzen und verwenden??

Wenn ich mir die Veranschaulichung zu Gemüte führe, kann ich dieses
"Hochschieben" des Weges an die Kegelspitze in einem "lochfreien Gebiet"
doch ohne weiteres tätigen, aber wie sieht das aus?

Gruß in die Heimat, Martin.

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Homotopie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 Sa 26.11.2005
Autor: SEcki


> Auf jeden Fall ist die besondere Gestalt meiner Wege
> dadurch gegeben,
>  dass diese eben geschlossen sind.

Nö, das sind sie nicht. Sei x ein beliebiger Punkt des Raums X, c das Zentrum, dann kann man sie durch [m][0,1]\to X, t\mapsto t*c+(1-t)*x[/m] verbinden. So, jetzt konstruiere die Homotopie des Weges auf den konstanten Weg.

SEcki

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Homotopie: hmmm..
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 So 27.11.2005
Autor: kunzm

Hallo nochmal,

mein Problem ist, dass ich per definitionem geschlossene Wege brauche, zumindest für die Argumentation die ich hier zu Anfang gepostet habe. Ich habe es jetzt nocheinmal versucht, siehe unten. Lies das doch bitte nochmal genau und sag mir ob das halbwegs Sinn macht.

Grüße, Martin.


[mm] \documentclass[12pt,a4paper]{article} \oddsidemargin0pt \textwidth460pt \headsep0pt \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\p}{\varphi} \newcommand{\bc}{\begin{center}} \newcommand{\ec}{\end{center}} \newcommand{\cd}{\cdot} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \begin{document} \begin{flushleft} \textbf{H1} Nachtrag aus der Vorlesung\\[12pt] \textit{Zeige, dass sternförmige Gebiete einfach zusammenhängend sind.}\\[12pt] Definition:\\ \textit{Ein Gebiet $D \subseteq \mathbb{C}$ heisst sternförmig (mit Zentrum c), falls}\\ \bc $\forall z \in D : [z,c] \in D$\\[6pt] \ec Definition 2.7 (Roch):\\ \textit{$D \in \mathbb{C}$ heisst einfach zusammenhängend wenn, wenn jeder geschlossene Weg in D nullhomotop ist.}\\[6pt] Definition 2.6 (Roch):\\ \textit{Ein geschlossener Weg $\gamma$ heisst nullhomotop, wenn $\gamma$ zu einem konstanten Weg homotop ist.}\\[6pt] Definition 2.5 (Roch):\\ \textit{ Seien $\gamma_{0},\gamma_{1}:[0,1]\rightarrow D$ zwei geschlossene Wege in D. Dann ist $\gamma_{0}$ zu $\gamma_{1}$ homotop in D, wenn es eine stetige Funktion $\Gamma:[0,1] \times [0,1] \rightarrow D$ so gibt, dass}\\ \bc $\Gamma(s,0)=\gamma_{0}(s)$ und $\Gamma(s,1)=\gamma_{1}(s)$ für $s \in [0,1]$.\\ \ec \textit{und} \bc $\Gamma(0,t)=\Gamma(1,t)$ für $t \in [0,1]$. \ec Beweis:\\ Sei $s \in D$, c Zentrum von D und seien $\gamma_{0},\gamma_{1}:[0,1]\rightarrow D$ mit $\gamma_{0}(0)=\gamma_{0}(1)$, $\gamma_{1}(0)=\gamma_{1}(1)$ sowie $\gamma_{0}(s)=0$ konstant und $\gamma_{1}(s)=s((1-c)-s(1-c))$.\\[12pt] Dann ist $\gamma_{0}$ homotop zu $\gamma_{1}$ da es eine stetige Funktion $\Gamma(s,t)$ mit \bc $\Gamma:[0,1]\times[0,1]\rightarrow D$, $\Gamma(s,t)=s(t(1-c)-st(1-c))$ gibt, \ec so dass gilt: $\Gamma(s,0)=0=\gamma_{0}(s)$ und $\Gamma(s,1)=s((1-c)-s(1-c))=\gamma_{1}(s)$,\\ sowie $\Gamma(0,t)=0=\Gamma(1,t)$ für $t \in [0,1]$ was zu beweisen war.\\ \end{flushleft} \end{document}[/mm]


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Homotopie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 So 27.11.2005
Autor: SEcki


> mein Problem ist, dass ich per definitionem geschlossene
> Wege brauche, zumindest für die Argumentation die ich hier
> zu Anfang gepostet habe

Ja, sicher. Eine Bitte vielleicht: die lnagen TeX-Texte sind ja schön, aber sie lassen sich schwer zitieren. Kannst du das aufbrechen?

> sowie [m]\gamma_{0}(s)=0[/m] konstant und

Das ist schonmal unschön - besser ist hier nicht einen beliebigen konstanten Weg zu nehmen - sondern konstant in das Zentrum c.

> [m]\gamma_{1}(s)=s((1-c)-s(1-c))[/m]

Das hat ja mit deinem gegeben, geschlossenen Weg nichts zu tun. Also: du hast den konstanten Weg [m]\gamma_{0}(s)=c[/m] und dann den gegebenen Weg [m]\gamma_{1}(s)[/m]. Jetzt willst du diese Wege per Homotopie in Verbindung bringen. Was ist das naheliegende? Für jedes s liegt die Verbindungsstrecke zwischen [m]\gamma_{1}(s)[/m] und [m]\gamma_{0}(s)=c[/m] ja ganz in dem Raum. Kannst du jetzt die Homotopie hinschreiben?

SEcki

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Homotopie: nicht wirklich
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 So 27.11.2005
Autor: kunzm

klar, ich kann auch so schreiben. Letzter Versuch jetzt, dann geb ich es auf, irgendwann muss ja auch mal gut sein.

Ich habe ja jetzt [mm]\gamma_{0}(s)=c[/mm] und [mm]\gamma_{1}(s)[/mm] unbekannt aber zumindest geschlossen, mit allem was daraus folgt.

Mein Gedanke war jetzt (ich habe mir das im [mm]\mathbb{R}^2[/mm] vorgestellt) [mm]\gamma_{1}[/mm] mittels einer stetigen Abbildung auf c zu projezieren, und eben diese Abbildung muss dann meine Kriterien aus Satz 2.5 erfüllen. Wenn ich z.B. den Abstand zwischen [mm]\gamma_{0}[/mm] und [mm]\gamma_{1}[/mm] verwende bekomme ich den Satz nicht erfüllt, abgesehen davon hinkt das ja dahingehend, dass  der Abstand noch lange nicht die Lage von [mm]\gamma_{1}(s)[/mm] in D berücksichtigt.

Ich blick einfach nicht dahinter was da von mir erwartet wird. Ich dachte, da nur die Forderung "geschlossen" an [mm]\gamma_{1}[/mm] gestellt wird kann ich mir ja jeden beliebigen geschlossenen Weg aus D herausgreifen. Nachdem ich das aber scheinbar nicht kann, wie soll diese Abbildung denn Aussehen???

Danke für die Geduld, Martin

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Homotopie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 So 27.11.2005
Autor: SEcki


> Ich habe ja jetzt [mm]\gamma_{0}(s)=c[/mm] und [mm]\gamma_{1}(s)[/mm]
> unbekannt aber zumindest geschlossen, mit allem was daraus
> folgt.

Ja.

> Ich blick einfach nicht dahinter was da von mir erwartet
> wird. Ich dachte, da nur die Forderung "geschlossen" an
> [mm]\gamma_{1}[/mm] gestellt wird kann ich mir ja jeden beliebigen
> geschlossenen Weg aus D herausgreifen. Nachdem ich das aber
> scheinbar nicht kann, wie soll diese Abbildung denn
> Aussehen???

Hrmpf, danns chreib ich dir die Abbildung hin: [m][0,1]\times[0,1]\to X, (s,t)\mapsto t*c+(1-t)*\gamma_{1}(s)[/m]. Alle Details, zB das die Abbildung stetig ist, seien jetzt aber wirklich dir überlassen.

SEcki

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