Homotopie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Do 05.02.2009 | | Autor: | Linn |
| Aufgabe | Aufgabe
In $ [mm] \IC [/mm] $ seien die Kurven $ [mm] \gamma_1 [/mm] $ und $ [mm] \gamma_2 [/mm] $ für $ [mm] t\in [0,2\pi] [/mm] $ definiert durch:
$ [mm] \gamma_1:= [/mm] $ 2cos(t) + 0,6sin(4t) + i(2sin(t) + 0,6sin(2t)).
$ [mm] \gamma_2:= [/mm] $ 0,4 + cos(t) + i sin(t).
zeigen Sie: $ [mm] \gamma_1 [/mm] $ ist homotop zu $ [mm] \gamma_2. [/mm] $ |
Ich habe die Lösung zu der Aufgabe. Da wird H so definiert:
H:[0,1]x[0,2*/pi] [mm] \to \IC
[/mm]
H(s,t)= s(0,4 + cos(t) + i sin(t)) + (1-s)(2cos(t) + 0,6sin(4t) + i(2sin(t) + 0,6sin(2t)))
Wie komme ich jetzt auf das s und das 1-s ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe
> In [mm]\IC[/mm] seien die Kurven [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_2[/mm] für [mm]t\in [0,2\pi][/mm]
> definiert durch:
>
> [mm]\gamma_1:=[/mm] 2cos(t) + 0,6sin(4t) + i(2sin(t) + 0,6sin(2t)).
>
> [mm]\gamma_2:=[/mm] 0,4 + cos(t) + i sin(t).
>
> zeigen Sie: [mm]\gamma_1[/mm] ist homotop zu [mm]\gamma_2.[/mm]
> Ich habe die Lösung zu der Aufgabe. Da wird H so
> definiert:
> H:[0,1]x[0,2*/pi] [mm]\to \IC[/mm]
> H(s,t)= s(0,4 + cos(t) + i
> sin(t)) + (1-s)(2cos(t) + 0,6sin(4t) + i(2sin(t) +
> 0,6sin(2t)))
> Wie komme ich jetzt auf das s und das 1-s ?
>
Es ist doch H(s,t) = [mm] s\gamma_1(t) [/mm] + [mm] (1-s)\gamma_2(t)
[/mm]
Bei festem t ist dies gerade die Parametrisierung der Vebindungsstrecke von [mm] \gamma_1(t) [/mm] und [mm] \gamma_2(t)
[/mm]
FRED
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Do 05.02.2009 | | Autor: | Linn |
Was heißt Parametrisierung der Vebindungsstrecke?
Ich hatte mir jetzt überlegt, dass ich s und 1-s wähle, damit
H(0,t)= [mm] \gamma_{1}(t) [/mm] und H(1,t)= [mm] \gamma_{2}(t) [/mm] gilt.
Könnte ich bei jeder Verformung s und 1-s nehmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Do 05.02.2009 | | Autor: | pelzig |
> Was heißt Parametrisierung der Vebindungsstrecke?
Naja stell dir mal die beiden irgendwie in der komplexen Ebene verlaufenden Wege vor. Für ein fixiertes [mm] $t\in[0,2\pi]$ [/mm] ist dann die Abbildung [mm] $s\mapsto [/mm] H(s,t)$ genau die Verbindugsstrecke von [mm] $\gamma_1(t)$ [/mm] nach [mm] $\gamma_2(t)$.
[/mm]
> Ich hatte mir jetzt überlegt, dass ich s und 1-s wähle,
> damit
> H(0,t)= [mm]\gamma_{1}(t)[/mm] und H(1,t)= [mm]\gamma_{2}(t)[/mm] gilt.
Durch die Definition [mm] $H(s,t)=s\gamma_2(t)+(1-s)\gamma_1(t)$ [/mm] ist doch genau das erfüllt.
> Könnte ich bei jeder Verformung s und 1-s nehmen?
In [mm] $\IC$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^2$ [/mm] kannst du alle Wege auf diese Weise stetig ineinander überführen.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Do 05.02.2009 | | Autor: | Linn |
Alles klar, danke!
|
|
|
|
