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Forum "Analysis-Sonstiges" - Horner-Schema
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Horner-Schema: Polynom
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Do 06.09.2007
Autor: SaarDin

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion p4(x)= x4 - x3 - 5x2 + 3x +6.
Berechnen Sie den Wert p4(2) mit Hilfe des Horner-Schemas.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Wie weit muss ich hier rechnen?
Die 2 ins Horner-Schema eingeben, damit dann eine Funktion 3 Grades raus kommt? Oder wie kann ich die Aufgabe verstehen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PDF) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Horner-Schema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Do 06.09.2007
Autor: Analytiker

Hi Nadine,

erst einmal herzlich [willkommenmr] *smile* !!!

> Gegeben sei die Funktion p4(x)= x4 - x3 - 5x2 + 3x +6.
> Berechnen Sie den Wert p4(2) mit Hilfe des Horner-Schemas.

Ich gehe davon aus, das du die Funktion  p(x) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 5x^{2} [/mm] + 3x + 6  meinst!

> Wie weit muss ich hier rechnen? Die 2 ins Horner-Schema eingeben, damit dann eine Funktion
> 3 Grades raus kommt? Oder wie kann ich die Aufgabe verstehen?

Bei Polynomen erfordert dabei das Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung und die Berechnung der Potenzen bei nicht einfachen Zahlen und vor allem bei großen Potenzen erhebliche Mühe. Es wird viel Zeit benötigt und die Fehlerwahrscheinlichkeit ist hoch. Dabei gibt es für Polynome schon lange ein sehr einfaches Verfahren: Das Horner-Schema. Nun schauen wir uns mal deine Aufgabe an:

1.) p(x) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 5x^{2} [/mm] + 3x + 6

nun klammern wir schrittweise aus:

2.) p(x) = [mm] (x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - 5x + 3) * x + 6

3.) p(x) = [mm] ((x^{2} [/mm] - x - 5) * x + 3) * x + 6

4.) p(x) = (((x - 1) * x - 5) * x + 3) * x + 6

nun haben wir das Horner Schema soweit angewendet, das wir nun einfach die 2 ins p(x) einsetzen können, und können somit den Funktionswert ermitteln... ;-)

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]
Bezug
                
Bezug
Horner-Schema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 Do 06.09.2007
Autor: SaarDin

Kannst du dir mal bitte meinen Anhang bei der Originalaufgabe anschauen?
Was ich dagerechnet habe, ist dann wohl komplett falsch, oder?
Bezug
                        
Bezug
Horner-Schema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:01 Do 06.09.2007
Autor: Analytiker

Hi Nadine,

> Kannst du dir mal bitte meinen Anhang bei der Originalaufgabe anschauen?

Das habe ich getan ;-)!

> Was ich dagerechnet habe, ist dann wohl komplett falsch, oder?

Also generell muss ich sagen, ist es egal welche Notation du benutzt. Ob du das nun in Tableauform (so wie du es gemacht hast), oder einfach die Funktion direkt ausklammerst (so wie ich es gemacht habe), spielt keine Rolle. Die Funktion ändert sich nicht bei Anwendung des Horner-Schemas, denn dieses will die Funktion nur vereinfacht darstellen damit man die Funktionswerte schneller und fehlerfreier ermitteln kann. Wenn du mein Ergebnis (Punkt 4.) ausmultiplizierst, gelangst du wieder zur Ausgangsfunktion. Wenn ich also nach meinem Weg dan p(2) einsetze, ergalte ich:

p(2) = 0

Ich komme auf den Wert wenn ich es in die Funktion (nach dem Horner-Schema umgewandelt) einsetze, genauso wie wenn ich es einsetze in die Augangsfunktion. Also haben wir keinen Fehler in der Umformung beim Horner-Schema gemacht ;-! Wie du siehst kommen wir beide auf das selbe Ergebnis, nur auf anderen Wegen [ok]. Du kannst dir den ganzen Sachverhalt auch nochmal []hier ansehen.

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]
Bezug
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