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| Aufgabe | | x gegen unendlich [mm] \bruch{2x^3-3x+2}{5x^2+1} [/mm] G = unendlich |
Hallo!
Ich weiß natürlich, dass ich die Regel von Hospital hier nicht anwenden muss, aber eigentlich kann man sie doch immer Anwenden, oder?
[mm] f'(x)= \bruch{6x^2-3}{10x} [/mm]
[mm] f''(x)= \bruch{12x}{10} [/mm]
Immer wenn die Variable im Zähler steht und im Nenner keine wie hier hat die Funktion G=+-unendlich, oder?
Man kann das auch schon Anfangs ablesen, stimmt das?: Ist die Potenz der Variablen im Zähler größer als im Nenner, hat die Funktion G=+-unendlich. Ist die Potenz der Variablen im Nenner größer ist es eine Nullfolge bzw. G=0.
Wenn ich durch die höchste Nennerpotenz dividiere erhalte ich:
limes x gegen unendlich [mm] \bruch{x^2(2x-\bruch{3}{x}+\bruch{2}{x^2}) }{x^2(5+\bruch{1}{x^2})} [/mm]
Also:lim [mm] \bruch{2x}{5} [/mm]
Stimmen meine Annahmen?
Danke für Antworten im Voraus
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angelika,
> x gegen unendlich [mm]\bruch{2x^3-3x+2}{5x^2+1}[/mm] G =
> unendlich
> Hallo!
>
> Ich weiß natürlich, dass ich die Regel von Hospital hier
> nicht anwenden muss, aber eigentlich kann man sie doch
> immer Anwenden, oder?
nein, [mm] $\mbox{\underline{immer}}$ [/mm] ist in der Mathematik sehr schwer (außer bei Trivialitäten, wie: es gilt immer $0=0$). Bei Wikipedia steht z.B. auch dabei, unter welchen Voraussetzungen man de L'Hôpital (oder Hospital oder wie auch immer man es schreiben möchte) anwenden darf. Diese sind zu prüfen.
Oben: [mm] $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ [/mm] und [mm] $g(x)=2x^3-3x+2 \to \infty$ [/mm] sowie [mm] $h(x)=5x^2+1 \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty$. [/mm] Zudem existieren [mm] $g\,'$ [/mm] und [mm] $h\,'$ [/mm] (wichtig wäre hier die Existenz für alle genügend große $x$) und, was auch wichtig ist:
Weil wir $x [mm] \to \infty$ [/mm] laufen lassen, können wir o.B.d.A. $x > 0$ annehmen (und damit $x [mm] \not=0$). [/mm] Das werde ich später nicht mehr explizit dazuschreiben.
Also: Hier liegt der Fall " [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] " vor.
> [mm]f'(x)= \bruch{6x^2-3}{10x}[/mm]
Das darfst Du so nicht schreiben. [mm] $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ [/mm] hätte als Ableitung [mm] $f\,'=\frac{g\,'*h-g*h\,'}{h^2}$
[/mm]
Die altbekannte Quotientenregel.
Aber das, was Du meinst, ist, dass man hier nach einer ersten Anwendung von Hospital erhält:
[mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x \to \infty}\frac{g\,'(x)}{h\,'(x)}$, [/mm] wenn denn der Grenzwert rechterhand existiert.
> [mm]f''(x)= \bruch{12x}{10}[/mm]
Auch das hier ist formal falsch, denn [mm] $f\,'\,'$ [/mm] ist die Ableitung von [mm] $f\,'=\frac{g\,'*h-g*h\,'}{h^2}$, [/mm] und deren Berechnung erspare ich mir.
Das, was Du aber meinst:
Um nun [mm] $\lim_{x \to \infty}\frac{g\,'(x)}{h\,'(x)}$ [/mm] zu berechnen, beachten wir zunächst:
[mm] $g\,'(x)=6x-3$ [/mm] und [mm] $h\,'(x)=10x$ [/mm]
[mm] $g\,'\,'$ [/mm] und [mm] $h\,'\,'$ [/mm] existieren und es gilt sowohl [mm] $g\,'(x) \to \infty$ [/mm] als auch [mm] $h\,'(x) \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty$. [/mm] Also wieder der Fall " [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] ":
Wenn nun also
[mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{g\,'\,'(x)}{h\,'\,'(x)}$ [/mm] existiert, dann ist
[mm] $\lim_{x \to \infty}\frac{g\,'(x)}{h\,'(x)}=\lim_{x \to \infty} \frac{g\,'\,'(x)}{h\,'\,'(x)}$
[/mm]
Also folgt oben:
[mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x \to \infty}\frac{g\,'(x)}{h\,'(x)}=\lim_{x \to \infty} \frac{g\,'\,'(x)}{h\,'\,'(x)}$, [/mm] falls der letzte Grenzwert existiert.
Damit ist hier:
[mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to \infty}\frac{12x}{10}=\infty$, [/mm] weil bei de L'Hospital auch "die Grenzwerte [mm] $\pm \infty$ [/mm] " zugelassen sind:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital
> Immer wenn die Variable im Zähler steht und im Nenner keine
> wie hier hat die Funktion G=+-unendlich, oder?
Ich mag' dieses Wort "immer" nicht. Zudem meinst Du zudem offensichtlich, dass $x [mm] \to \infty$ [/mm] laufen soll (bei Hospital muss das gar nicht sein, es kann auch [mm] $\lim_{x \to x_0}...$ [/mm] da stehen, vgl. Link).
Abgesehen davon:
Was machst Du denn, wenn im Zähler [mm] $x*\sin(x)$ [/mm] steht? Dann existiert [mm] $\lim_{x \to \infty} x*\sin(x)=\lim_{x \to \infty}\frac{x*\sin(x)}{1}$ [/mm] gar nicht.
> Man kann das auch schon Anfangs ablesen, stimmt das?
Hier: Ja!
> Ist
> die Potenz der Variablen im Zähler größer als im Nenner,
> hat die Funktion G=+-unendlich. Ist die Potenz der
> Variablen im Nenner größer ist es eine Nullfolge bzw. G=0.
Wie gesagt: Hier läuft ja $x [mm] \to \infty$, [/mm] dann z.B. geht das so.
> Wenn ich durch die höchste Nennerpotenz dividiere erhalte
> ich:
>
> limes x gegen unendlich
> [mm]\bruch{x^2(2x-\bruch{3}{x}+\bruch{2}{x^2}) }{x^2(5+\bruch{1}{x^2})}[/mm]
>
> Also:lim [mm]\bruch{2x}{5}[/mm]
Also, das darfst Du schreiben:
[mm] $\lim_{x \to \infty}\frac{2x^3-3x+2}{5x^2+1}=\lim_{x \to \infty}\bruch{2x-\bruch{3}{x}+\bruch{2}{x^2} }{5+\bruch{1}{x^2}} [/mm] $
Aber das darauffolgende:
[mm] $=\lim_{x \to \infty}\frac{2x}{5}$
[/mm]
ist zwar nicht falsch, würde ich aber kritisieren, wenn Du es nicht genauestens begründest.
Anstatt nur die größte Potenz des Nenners herauszusuchen, solltest Du bei derartigen Ausdrücken die größte Potenz des Zählers und Nenners heraussuchen und dann entsprechend vorklammern (bzw. sagen wir mal besser so: Ich bin das so gewohnt und denke, das ist besser ^^). Dann kannst Du ganz konkret mit Grenzwertsätzen argumentieren.
Allerdings hier:
[mm] $P(x)=\bruch{2x^3-3x+2}{5x^2+1}=\frac{x^3*\left(2-3\frac{1}{x^2}+2\frac{1}{x^3}\right)}{x^3*\left(5\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)}$
[/mm]
sieht das dann doch wieder etwas "unschön" aus, da man das Problem erhält, dass man dann bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] durch $0$ teilen würde. Entweder klarmachen:
Bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] sind Zähler und Nenner irgendwann stets $ [mm] \ge [/mm] 0$, der Zähler strebt gegen $2$, der Nenner (von rechts) gegen $0$, also ist der Limes gerade [mm] $=\infty$.
[/mm]
Wenn Du das nicht magst:
Naja, es wird Dir sicherlich gelingen, anstelle von $P(x)$ dann mit [mm] $Q(x):=\frac{1}{P(x)}$ [/mm] zu argumentieren. Dann zeigt man z.B. einfach:
Es gilt $Q(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \ge x_0$ [/mm] mit einem [mm] $x_0 [/mm] > 0$ und $Q(x) [mm] \to [/mm] 0$ bei $x [mm] \to \infty$, [/mm] und damit folgt dann eben:
[mm] $\lim_{x \to \infty}P(x)=\infty$
[/mm]
P.S.: Nochmal zu L'Hospital:
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Satz 13.22
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | lim x gegen 2 [mm] \bruch{(x-2)(3x+1)}{4x-8} [/mm]
lim x gegen 2 [mm] \bruch{3x^2-5x-2}{4x-8} [/mm]
[mm] lim xgegen2\bruch{g'(x)}{f'(x)}= \bruch{6x-5}{4}=\bruch{7}{4}[/mm]
lim x gegen 1 = [mm] \bruch{x^4-1}{x-1} [/mm]
[mm] lim xgegen1\bruch{g'(x)}{f'(x)}= \bruch{3x^2}{1}=4[/mm]
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Hallo marcel!
Danke für deine Mühe und die Korrektur meiner formalen Fehler! x muss bei der Anwendung von Hopital also immer gegen größer 0 gehen. Glaube ich habe es verstanden! Es stimmt doch, wenn ich Zähler und Nenner getrennt ableite und dann Grenzwert bestimme? (Grenzwert rechterhand) Was ist aber wenn ich beim letzen Beispiel(letzte Frage) im Zähler die dritte Ableitung habe und im Nenner die zweite. Ist das ein Problem?
Danke Vielmals
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> lim x gegen 2 [mm]\bruch{(x-2)(3x+1)}{4x-8}[/mm]
> lim x gegen 2 [mm]\bruch{3x^2-5x-2}{4x-8}[/mm]
>
> [mm]lim xgegen2\bruch{g'(x)}{f'(x)}= \bruch{6x-5}{4}=\bruch{7}{4}[/mm]
>
> lim x gegen 1 = [mm]\bruch{x^4-1}{x-1}[/mm]
>
> [mm]lim xgegen1\bruch{g'(x)}{f'(x)}= \bruch{3x^2}{1}=4[/mm]
>
> Hallo marcel!
>
> Danke für deine Mühe und die Korrektur meiner formalen
> Fehler! x muss bei der Anwendung von Hopital also immer
> gegen größer 0 gehen.
nein, das habe ich auch nirgends behauptet. Ich habe nur gesagt:
Wenn wir $x [mm] \to \infty$ [/mm] laufen lassen, dann können wir o.B.d.A. $x > 0$ annehmen. Das habe ich nur deshalb dazugesagt, weil man sich ansonsten daran stören könnte, dass man bei dem einen Term ja für $x=0$ durch $0$ teilen würde. Ansonsten steht bei L'Hospital:
[mm] $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] mit einem [mm] $x_0 \in \IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] (wobei [mm] $\infty \notin \IR$)
[/mm]
und man braucht zum einen Voraussetzungen über die Diff'barkeit von $f$ (nahe) bei [mm] $x_0$ [/mm] sowie auch $g$ (nahe) bei [mm] $x_0$, [/mm] wobei man im Falle [mm] $x_0=\infty$ [/mm] das "(nahe) bei" [mm] $\infty$ [/mm] so zu verstehen hat, dass beide Funktionen jedenfalls ab einem genügend großen $M$ dort immer diff'bar sein sollen...
Zudem braucht man gewisse Fälle:
Es soll [mm] $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] entweder ein " [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] "-Fall oder ein " [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] "-Fall sein. Wenn es z.B. so wäre, dass [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] bei $x [mm] \to x_0$ [/mm] ein $ [mm] \frac{-4}{5} [/mm] $-Fall wäre (d.h. z.B. $f(x) [mm] \to [/mm] -4$ und $g(x) [mm] \to [/mm] 5$ bei $x [mm] \to x_0$), [/mm] dürfen wir L'Hospital gar nicht anwenden.
Trivial:
[mm] $\lim_{x \to 10}\frac{10x}{x^2}=1$, [/mm] aber [mm] $\lim_{x \to 10}\frac{10}{2x}=\frac{1}{2}$
[/mm]
Das ist aber kein Widerspruch, denn:
L'Hospital durfte nicht angewendet werden, da linkerhand weder ein " [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] "- noch ein " [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] "-Fall vorliegt
(Bitte beachte, dass z.B. auch [mm] $\frac{\infty}{-\infty}$-Fälle [/mm] gehen, denn diese kann man auf einen [mm] "$\frac{\infty}{\infty}$"-Fall [/mm] zurückführen.)
> Glaube ich habe es verstanden! Es
> stimmt doch, wenn ich Zähler und Nenner getrennt ableite
> und dann Grenzwert bestimme? (Grenzwert rechterhand) Was
> ist aber wenn ich beim letzen Beispiel(letzte Frage) im
> Zähler die dritte Ableitung habe und im Nenner die zweite.
Da verstehe ich zum einen Deine Rechnung und daher Deine Frage nicht. Okay, nehmen wir uns mal [mm] $\lim_{x \to 1}\frac{x^4-1}{x-1}$ [/mm] zur Brust.
Ich schreibe jetzt einfach immer $z=z(x)$ für die Zählerfunktion und $n=n(x)$ für die Nennerfunktion.
Es ist [mm] $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ [/mm] mit [mm] $z(x)=x^4-1$ [/mm] und $n(x)=x-1$
Hier ist [mm] $\lim_{x \to 1}z(x)=\lim_{x \to 1}n(x)=0$ [/mm] und
[mm] $z\,'(x)=4x^3$ [/mm] und [mm] $n\,'(x)=1$. [/mm] Hospital ist also anwendbar (Fall " [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] "):
[mm] $\lim_{x \to 1}f(x)=\lim_{x \to 1}\frac{z(x)}{n(x)}$
[/mm]
[mm] $\underbrace{=}_{\mbox{Hospital}} \lim_{x \to 1}\frac{4x^3}{1}=\lim_{x \to 1}4x^3$
[/mm]
[mm] $=4*\lim_{x \to 1}x^3\underbrace{=}_{\mbox{Stetigkeit von }x \mapsto x^3}4*(\lim_{x \to 1} x)^3=4*1^3=4*1=4$
[/mm]
Also ich weiß nicht, was Du da meintest. Wenn Du [mm] $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ [/mm] hast und nun $k$-Mal Hospital angewendet hast (wobei Du natürlich immer die Voraussetzungen zu prüfen hast, d.h. es muss so sein, dass Du ihn auch $k$ Mal anwenden durfest), so steht dann da
[mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}\frac{z^{(k)}(x)}{n^{(k)}(x)}$
[/mm]
wobei [mm] $z^{(k)}$ [/mm] bzw. [mm] $n^{(k)}$ [/mm] jeweils (wie gebräuchlich) die $k-te$ Ableitung bezeichnen soll.
Gruß,
Marcel
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