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Hallo,
ich möchte euch kurz zwei Folgen vorstellen
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{ln x^2}{4x}
[/mm]
Ich bin nicht sicher, warum man hier Hospital verwenden darf. Der ln von 0 ist doch überhaupt nicht definiert? Und für sehr kleine x wird der ln doch gar nicht 0?
oder
[mm] \bruch{x^2-x+1}{x-1} [/mm] Dies jedoch war eine Funktion
Der Grenzwert für gegen + und - [mm] \infty [/mm] habe ich, nämlich ebenfalls + und - [mm] \infty.
[/mm]
Der Hochpunkt liegt bei (0/-1), der Tiefpunkt bei (2/3). Offensichtlich muss das im Quadranten rechts oben eine nach oben geöffnete Kurve geben und im Quadranten links unten eine nach unten geöffnete Kurve geben.
Aber ich sehe nicht, wie man dies aus den Grenzwerten ablesen kann.
Lieben Dank!
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Hallo,
also ich sehe nicht, wie du $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{ln x^2}{4x} [/mm] $ l'Hospital-fähig bekommen willst...
Mir fällt zumindest kein Weg so schnell ein. [mm] 4x*ln(x^2) [/mm] ginge ja noch...
Um den Grenzwert von $ [mm] \bruch{x^2-x+1}{x-1} [/mm] $ "abzulesen", klammerst du am bessten im zähler und im Nenner mal ein x aus, kürzt dann, und betrachtest dann den Grenzprozess.
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Do 05.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich möchte euch kurz zwei Folgen vorstellen
(Grenzwertbetrachtungen bei) Funktionen!
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\ln x^2}{4x}[/mm]
>
> Ich bin nicht sicher, warum man hier Hospital verwenden
> darf. Der ln von 0 ist doch überhaupt nicht definiert? Und
> für sehr kleine x wird der ln doch gar nicht 0?
Du darfst Hospital hier nicht verwenden. Es ist aber klar, dass [mm] $\ln(x^2) \to -\infty$ [/mm] und $4x [mm] \to [/mm] 0$ bei $x [mm] \to 0\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $\lim_{x \to 0^+} \bruch{\ln x^2}{4x}=-\infty \not=\infty=\lim_{x \to 0^-} \bruch{\ln x^2}{4x}$ [/mm] existiert [mm] $\lim_{x \to 0} \bruch{\ln x^2}{4x}$ [/mm] nicht.
Dass [mm] $\ln(0)$ [/mm] (und auch [mm] $1/(4\,*0)$)nicht [/mm] definiert ist, interessiert bei der Aufgabe nicht. Warum, das werde ich nun nicht wieder wiederholen; ich habe Dich schon mehr als einmal darauf hingewiesen, wieso das so ist und auch, dass und wo Du das nachlesen kannst. Du solltest das mal bitte endlich nachholen!!
Gruß,
Marcel
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Ich persönlich kann nicht nachvollziehen, warum überhaup der [mm] \limes_{x\rightarrow0-} [/mm] lnx existiert. Links von der Null gibt es doch keine Umgebung, in der ich die Funktion betrachten kann, oder ist dass einfach ein Sprung von 0 auf [mm] -\infty, [/mm] wenn man von links in Richtung der 0 geht?
lg Kai
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> Ich persönlich kann nicht nachvollziehen, warum überhaup
> der [mm]\limes_{x\rightarrow0-}[/mm] lnx existiert.
Hallo,
in der Aufgabe geht es ja um [mm] ln(x^2).
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ahhhhhhhchso... stimmt, okay. Danke!
D.h. diese Argumentation ginge bei lnx nicht?!
lg Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ahhhhhhhchso... stimmt, okay. Danke!
>
> D.h. diese Argumentation ginge bei lnx nicht?!
nein. [mm] $\lim_{x \to 0^-}\ln(x)$ [/mm] macht keinen Sinn, die Begründung hast Du Dir selbst schon gegeben. Aber [mm] $x^2 [/mm] > 0$ gilt für alle $x [mm] \in \IR \setminus\{0\}$ [/mm] und so macht [mm] $\ln(x^2)$ [/mm] auch für alle $x [mm] \not=0$ [/mm] Sinn.
Wenn oben übrigens stünde:
Betrachte [mm] $\ln: (0,\infty) \to \IR,\;x \mapsto \ln(x)$ [/mm] und $f: [mm] [0,\infty) \to \IR,\;x \mapsto x^2\,,$ [/mm] dann wäre klar, dass
[mm] $$\lim_{x \to 0} \ln(f(x))/(4x)=\lim_{x \to 0} \ln(x^2)/(4x)\blue{=\lim_{x \to 0^+} \ln(x^2)/(4x)}$$
[/mm]
gemeint ist. Aber ohne genau Angaben des Definitionsbereiches gehe ich von dem "größtmöglichen" Definitionsbereich aus, d.h. bei [mm] $\lim_{x \to 0}\ln(x^2)/(4x)$ [/mm] betrachte ich $x [mm] \mapsto \ln(x^2)/(4x)$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] definiert.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Do 05.02.2009 | | Autor: | Boki87 |
Sorry wenn ich so frage, aber bist du dir sicher, dass man hier nicht Hospital verwenden darf?
Ich habe hier eine ähnliche Aufgabe gefunden und dort hat man Hospital verwendet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Boki87
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Guten Abend,
wie ich schon geschrieben hab, 4x*lnx wäre kein Problem gewesen, weil dann der "Trick" mit der Doppelbruchbildung funktioniert, aber wie soll man denn hier bitte einen Doppelbruch "erzwingen"? Die 4x stehen doch schon im Nenner...
lg Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry wenn ich so frage, aber bist du dir sicher, dass man
> hier nicht Hospital verwenden darf?
ja! Einfach aus dem Grund, dass die Voraussetzungen von Hospital nicht erfüllt sind (es liegt ein Fall der Art " [mm] $\pm \infty/0$ [/mm] " vor, in den Voraussetzungen von Hospital stehen Fälle der Art " $0/0$ " bzw. $ [mm] \pm \infty/\infty [/mm] $ ").
> Ich habe hier eine ähnliche Aufgabe gefunden und dort hat
> man Hospital verwendet.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Dort hat mein einen Fall der Art " [mm] $0*\infty$ [/mm] " zu einem der Art " [mm] $-\infty/\infty$ [/mm] " umgeschrieben, so dass Hospital angewendet werden kann.
Übrigens ist die Lösung unvollständig, wenn an keiner Stelle die (Links-)Stetigkeit der Exponentialfunktion in [mm] $x_0=0$ [/mm] erwähnt wurde.
Die vollständige Argumentation wäre:
Nach Hospital ist [mm] $\lim_{x \to 0^+} x*\ln(x)=0$ [/mm] und wegen der (Links-)Stetigkeit der Exponentialfunktion im Punkte [mm] $x_0=0$ [/mm] folgt
[mm] $$\lim_{x \to 0^+}x^x=\lim_{x \to 0^+}\exp(x*\ln(x))\underset{\text{(Links-)Stetigkeit von exp(.) in }x_0=0}{=}\exp(\lim_{x \to 0^+}x*\ln(x))=\exp(0)=1\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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