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Householder Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Fr 26.04.2019
Autor: Flowbro

Aufgabe
Sei H die Householder-Matrix zu einem Vektor [mm] u\in R^{n} [/mm] mit u [mm] \not=0: [/mm]
[mm] H=1-\frac{2}{u^{T} u} [/mm] u [mm] u^{T} [/mm]

a) Bestimmen Sie den Vektor u, so dass die zugehörige Householder-Matrix einen Vektor a ∈ [mm] R^2 [/mm] auf ein Vielfaches des 1. Einheitsvektors [mm] e_1 [/mm] spiegelt.

b) Gegeben seien die Matrizen [mm] A=\left( \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-1} \\ {2} & {1} & {0} \\ {-1} & {0} & {2}\end{array}\right), \quad R=\left( \begin{array}{ccc}{5} & {1} & {\sqrt{3}} \\ {0} & {2} & {1} \\ {0} & {0} & {-2}\end{array}\right) [/mm]

Ist R aus einer QR-Zerlegung der Matrix A entstanden? Begründen Sie Ihre Aussage.



Hallo liebes Forum

im Rahmen eines Numerikseminars muss ich obige Aufgaben zu Householdermatrizen lösen. Nun haben wir das ganze bisher aus meiner Sicht sehr umständlich definiert und gezeigt bekommen, sodass ich vor allem bei Aufgabe a) Hilfe und einen Ansatz bräuchte.

Viele Grüße Flowbro

        
Bezug
Householder Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Sa 27.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also erst mal geh ich nach deiner Bearbeitung davon aus, dass du einen Teil der vorher gestellten Aufgaben allein lösen konntest.
Machen wir dann mal weiter:

> Sei H die Householder-Matrix zu einem Vektor [mm]u\in R^{n}[/mm] mit
> u [mm]\not=0:[/mm]
> [mm]H=1-\frac{2}{u^{T} u}[/mm] u [mm]u^{T}[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie den Vektor u, so dass die zugehörige
> Householder-Matrix einen Vektor a ∈ [mm]R^2[/mm] auf ein
> Vielfaches des 1. Einheitsvektors [mm]e_1[/mm] spiegelt.

Erstmal: Ist dir klar, dass für $a [mm] \in \IR^2$ [/mm] auch sofort $u = [mm] \vektor{ u_1 \\ u_2 } \in\IR^2$ [/mm] folgt (warum?)
Wie sieht dann für beliebiges [mm] $u\in\IR^2$ [/mm] die Householder-Matrix aus?

Dann soll gelten: $Ha = [mm] \lambda\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] für ein beliebiges [mm] $\lambda \in \IR$. [/mm]

Gleichungssystem nach [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] lösen und du bist fertig.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Householder Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Sa 27.04.2019
Autor: Flowbro

Der Vektor u ist dann auch Element von [mm] \IR^2, [/mm] da man ja sonst gar nicht weiter das Produkt von $H*a$ berechnen kann und die Aufgabe somit ja gar keinen weiteren Sinn ergibt.

Wenn ich u einsetze kommt für mich heraus: $H= 1- [mm] \bruch{2}{u_1^2+u_2^2}\pmat{ u_1^2 & u_1u_2 \\ u_1u_2 & u_2^2 }=\pmat{\bruch{1-2u_1^2}{u_1^2+u_2^2} & \bruch{-2u_1u_2}{u_1^2+u_2^2} \\ \bruch{-2u_1u_2}{u_1^2+u_2^2} & \bruch{1-2u_2^2}{u_1^2+u_2^2} } [/mm]

Aber wenn ich nun $H*a$ rechne erhalte ich nur eine Gleichung, da ja die untere Zeile der daraus entstehenden Matrix gleich null sein muss, aber bei der oberen kommt doch eine beliebige Zahl heraus??!

Bezug
                        
Bezug
Householder Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 So 28.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg eine kleine Notationserleichterung:

Wir haben $H = 1 - [mm] \frac{2}{u^{T} u} [/mm] u [mm] u^{T} [/mm] $
Nun ist [mm] ${u^{T} u} [/mm] = [mm] ||u||^2 [/mm] $

D.h. wir haben: $H = 1 - [mm] \frac{2}{u^{T} u} [/mm] u [mm] u^{T} [/mm] = 1 - 2 [mm] \frac{u}{||u||} \left(\frac{u}{ ||u||}\right)^{T} [/mm] = 1 - [mm] 2vv^T$ [/mm]  wobei v normiert ist.

Dann vereinfacht sich H zu: $H = [mm] \pmat{1-2v_1^2 & -2v_1v_2 \\ -2v_1v_2 & 1-2v_2^2}$ [/mm] mit der Bedingung $||v|| = 1$.


> Aber wenn ich nun $ [mm] H\cdot{}a [/mm] $ rechne erhalte ich nur eine Gleichung, da ja die untere Zeile der daraus entstehenden Matrix gleich null sein muss, aber bei der oberen kommt doch eine beliebige Zahl heraus??!

Erstmal: Sind das keine zwei Gleichungen? Die Festlegung, dass die untere Zeile des entstehenden Vektors Null sein soll, ist keine?
Dann: Ja, bei der oberen Gleichung kommt erst mal eine beliebige Zahl heraus. Das stört uns aber nicht, weil die zwar beliebig, aber fest ist.
Wir werden sehen, dass das gewählte [mm] $\lambda$ [/mm] später doch gar nicht so beliebig sein darf.

Dazu vereinfachen wir das mal kurz:
Wir haben: $Ha = [mm] \lambda e_1$ [/mm]
Nun ist $Ha = (1 - [mm] 2vv^T)a [/mm] = a - 2vv^Ta$

D.h. wir haben die Gleichung:
$a - 2vv^Ta = [mm] \lambda [/mm] e [mm] \gdw (a-\lambda [/mm] e)  = 2v<v,a>$

Links steht nun der Vektor [mm] $a-\lambda [/mm] e$, rechts steht die relle Konstante $2<v,a>$ multipliziert mit dem Vektor $v$, der normiert ist.
D.h. die einzige "Richtung" die der Vektor $v$ haben kann, ist dieselbe wie [mm] $(a-\lambda [/mm] e)$, da v normiert ist, kommt als Kandidat sofort
$v := [mm] \frac{a-\lambda e}{||a-\lambda e||}$ [/mm] in Frage.

Die einfache Probe durch einsetzen, ob unser v geeignet ist, liefert:

$Ha = [mm] (1-2vv^T)a [/mm] = [mm] \ldots \text(einsetzen)\ldots [/mm] = [mm] \lambda [/mm] e$ also das gewünschte, d.h. unser $v$ ist der gesuchte Vektor

Wiederum einsetzen von $v$ in die Gleichung [mm] $(a-\lambda [/mm] e)  = 2v<v,a>$ und umstellen nach [mm] $\lambda$ [/mm] liefert [mm] $\lambda [/mm] = ||a||$, d.h. [mm] $\lambda$ [/mm] ist gar nicht so beliebig, wie gedacht.

Gruß,
Gono

PS: Es gibt noch eine weitere Möglichkeit v zu definieren, welche? Wie ändert sich dann das [mm] $\lambda$? [/mm]


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Householder Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 So 28.04.2019
Autor: Flowbro

a)
Hallo Gonozal,

also das mit den zwei Gleichungen meinte ich eigentlich auch so ähnlich wie du es formuliert hast, mir ist schon klar, dass eine Gleichung=0 sein darf, nur die andere Gleichung mit der Unbestimmten hat mich etwas verwirrt ;)

Durch die Vereinfachung (worauf ich nicht gekommen wäre) ist es ja wirklich ganz gut auszurechnen.

Nur fällt mir gerade beim besten Willen keine zweite vernünftige Definition von v ein, kann aber auch an der Sonntagnachmittagsmüdigkeit liegen...


b)
Hier könnte ich ja jetzt einfach die QR-Zerlegung durchführen, was ich auch schon angefangen hatte, nur kommen nach kurzer Zeit echt blöde Werte heraus, was das Weiterrechnen nicht unbedingt erleichtert...

Welchen Trick gibt es, um direkt zu sehen, ob R aus A entstanden ist oder nicht?
Auch das Googlen nach eventuellen Tricks hat mich hier nicht wirklich weitergebracht.

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Householder Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 So 28.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nur fällt mir gerade beim besten Willen keine zweite
> vernünftige Definition von v ein, kann aber auch an der
> Sonntagnachmittagsmüdigkeit liegen...

Ich wollte eigentlich darauf hinaus, dass v auch genau andersrum zeigen könnte, also [mm] $vektor{-(\alpha - \lambda e)}{||(\alpha - \lambda e)||}$, [/mm] das kommt dann aber doch nicht mit dem Vorzeichen hin.
Allerdings ist die Lösung für [mm] \lambda [/mm] nicht eindeutig, das Vorzeichen kann nämlich frei gewählt werden....

> b)
>  Hier könnte ich ja jetzt einfach die QR-Zerlegung
> durchführen, was ich auch schon angefangen hatte, nur
> kommen nach kurzer Zeit echt blöde Werte heraus, was das
> Weiterrechnen nicht unbedingt erleichtert...
>  
> Welchen Trick gibt es, um direkt zu sehen, ob R aus A
> entstanden ist oder nicht?
>  Auch das Googlen nach eventuellen Tricks hat mich hier
> nicht wirklich weitergebracht.

Naja, für eine QR-Zerlegung gilt $A = QR$, R ist nun bei dir in Dreiecksform und damit invertiertbar, also muss was für Q gelten?

Alternativ soll die Aufgabe vermutlich darauf hinaus, dass man ein R mit Hilfe der Householdertransformation, die du vorher bestimmt hast, berechnen kann.... und R ist dann bis auf einen Faktor eindeutig bestimmt. Das hattet ihr bestimmt!

Gruß,
Gono


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Householder Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 So 28.04.2019
Autor: Flowbro

Hallo,

also den Trick mit der Inverse war mir auch schon eingefallen, allerdings war ich mir nicht ganz sicher ob man ihn hier wirklich anwenden kann (spart ja im Vergleich zum Verfahren mit der Householder-Matrix Zeit.

Es muss gelten: [mm] $Q=A*R^{-1}$, [/mm] woraus folgt, dass [mm] $Q=\pmat{ 0,2 & 0,9 & 705/625 \\ 0,4 & 0,4 & 1241/2500 \\ -0,2 & 0,1 & -702/625 }$ [/mm]

Dabei ist Q ja nicht symmetrisch womit gelten müsste, dass R nicht aus A*Q entstanden ist, oder??

Bezug
                                                        
Bezug
Householder Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 So 28.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hallo,
>  
> also den Trick mit der Inverse war mir auch schon
> eingefallen, allerdings war ich mir nicht ganz sicher ob
> man ihn hier wirklich anwenden kann (spart ja im Vergleich
> zum Verfahren mit der Householder-Matrix Zeit.
>  
> Es muss gelten: [mm]Q=A*R^{-1}[/mm], woraus folgt, dass [mm]Q=\pmat{ 0,2 & 0,9 & 705/625 \\ 0,4 & 0,4 & 1241/2500 \\ -0,2 & 0,1 & -702/625 }[/mm]

Also entweder du verwendest IMMER Bruchschreibweise oder IMMER Dezimalschreibweise. Mischmasch ist …
Und wie können bei dir reine Brüche rauskommen, wenn R doch [mm] \sqrt{3} [/mm] enthält, A aber keine irrationale Zahl?

> Dabei ist Q ja nicht symmetrisch womit gelten müsste, dass
> R nicht aus A*Q entstanden ist, oder??

Q muss nicht symmetrisch sondern orthogonal sein…

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Householder Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 So 28.04.2019
Autor: Flowbro

Hallo Gonozal,

die Brüche sind aufgetaucht, da ich mit gerundeten Werten weitergerechnet hatte, so müsste Q korrekt aussehen (ebenfalls mit gerundeten Werten):
$ [mm] Q=\pmat{ 0,2 & 0,9 & 1,123 \\ 0,4 & 0,4 & 0,496 \\ -0,2 & 0,1 & -1,123 } [/mm] $

Da Q nun orthogonal sein müsste, müsste [mm] Q^T*Q=I [/mm] gelten, was aber mit obigem Q nach Nachrechnen nicht erfüllt ist.

Somit ist R nicht aus A*Q entstanden.

Soweit richtig?

Bezug
                                                                        
Bezug
Householder Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:17 Mo 29.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> die Brüche sind aufgetaucht, da ich mit gerundeten Werten
> weitergerechnet hatte, so müsste Q korrekt aussehen
> (ebenfalls mit gerundeten Werten):
>  [mm]Q=\pmat{ 0,2 & 0,9 & 1,123 \\ 0,4 & 0,4 & 0,496 \\ -0,2 & 0,1 & -1,123 }[/mm]

Zentral muesste 0,3 stehen, ansonsten passt es.

> Da Q nun orthogonal sein müsste, müsste [mm]Q^T*Q=I[/mm] gelten,
> was aber mit obigem Q nach Nachrechnen nicht erfüllt ist.

Problem: Natuerlich kann eine orthogonale Matrix, wenn man die Werte rundet, nicht mehr orthogonal werden, d.h. du muesstest definitiv mit ungerundeten Werten weiterrechnen.

Aber: Die Berechnung von $Q^TQ$ ist gar nicht notwendig. Was weisst du ueber die Determinante von orthogonalen Matrizzen?

> Somit ist R nicht aus A*Q entstanden.
>  
> Soweit richtig?

Wenn du mit ungerunden Werten gerechnet hast: Ja.

Gruss,
Gono

Bezug
                                                                                
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Householder Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:42 Mo 29.04.2019
Autor: Flowbro

Vielen Dank an dich Gonozal.

Die Determinante einer orthogonalen Matrix muss im Betrag gleich 1 sein ;)

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