Hubarbeit beim Pyramidenbau < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 So 13.01.2008 | | Autor: | Delija |
| Aufgabe | | Ein Ameisenhaufen aus sandigem Material (Dichte 1600kg/m³) hat die Form eines Kegelstumpfes. Der Grundflächenradius beträgt 1m, die Höhe beträgt ebenfalls 1m. Der Neigungswinkel der Böschung ist 60°. Welche Hubarbeit verrichteteten die Ameisen beim Bau? |
Hallo,
Ich muss ein Referat in Mathe über diese Aufgabe halten. Weil ich aber keine Lösung zu habe, wollte ich mal wissen, ob jemand drüber gucken könnte, ob das richtig so ist und ob man das überhaupt so rechnen kann. Wäre wirklich total nett, wenn mir jemand helfen kann!Es ist wichtig!
Meine Lösung:
Ich habe zuerst die Hubarbeit der oberen, kleineren Fläche des Kegelstupfes ausgerechnet.
r2 habe ich ausgerechnet indem ich erst die schräge Wand s des kegels mit dem sin ausgerechnet habe und dann mit dem Pythagoras r2:
r2 = 0,44m
Volumen des Zylinders:
V=pi*r2²*dh
Gewichtskraft des Zylinders:
Fx =m*g
Fx=Vx*p*g
Fx = (pi *r2² *dh)*p*g
Hubarbeit für zylinder:
Wx=Fx *h
Wx=pi *r²*dh*p*g*h
Kegelstumpf:
W=
[pi*r²*p*g*h]
(1/2* (pi*0,44² *p*g*h)²)
(1/2* (pi*0,44² *1600*9,81*1)²)-(1/2* (pi*0,44² *1600*9,81*0)²)
W=45567839,27 J
Ist das richtig so?
Vielen Dank im vorraus!!!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.uni-protokolle.de
Aber keine Antwort bekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 So 13.01.2008 | | Autor: | Xafra |
Ich glaube du hast einen Fehler gemacht. (Fehlende Genauigkeit!)
wenn ich das so durchrechne, dann komm ich für [mm] r_{2}= [3-\wurzel{3}]/3=0,422649731m
[/mm]
den Rest werde ich mir noch genauer ansehen!
Wäre vielleicht hilfreich, wenn du die einzelnen Variablen noch benennen würdest ;)
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 So 13.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ein Ameisenhaufen aus sandigem Material (Dichte 1600kg/m³)
> hat die Form eines Kegelstumpfes. Der Grundflächenradius
> beträgt 1m, die Höhe beträgt ebenfalls 1m. Der
> Neigungswinkel der Böschung ist 60°. Welche Hubarbeit
> verrichteteten die Ameisen beim Bau?
> Hallo,
> Ich muss ein Referat in Mathe über diese Aufgabe halten.
> Weil ich aber keine Lösung zu habe, wollte ich mal wissen,
> ob jemand drüber gucken könnte, ob das richtig so ist und
> ob man das überhaupt so rechnen kann. Wäre wirklich total
> nett, wenn mir jemand helfen kann!Es ist wichtig!
>
>
> Meine Lösung:
> Ich habe zuerst die Hubarbeit der oberen, kleineren Fläche
> des Kegelstupfes ausgerechnet.
> r2 habe ich ausgerechnet indem ich erst die schräge Wand s
> des kegels mit dem sin ausgerechnet habe und dann mit dem
> Pythagoras r2:
> r2 = 0,44m
Ich habe auch 0,422m heraus, aber das ist wohl ein Rundungsfehler.
> Volumen des Zylinders:
> V=pi*r2²*dh
Du gehst also von einem sehr dünnen Zylinder mit Radius [mm]r_2[/mm] und hähe dh aus. ok.
> Gewichtskraft des Zylinders:
> Fx =m*g
> Fx=Vx*p*g
> Fx = (pi *r2² *dh)*p*g
>
> Hubarbeit für zylinder:
> Wx=Fx *h
> Wx=pi *r²*dh*p*g*h
Soweit auch ok.
> Kegelstumpf:
> W=
> [pi*r²*p*g*h]
Diese Formel habe ich nicht verstanden. Du musst doch hier über die Variable h integrieren, wobei der Radius von der Höhe linear abhängt. Wenn der Radius oben (in Höhe h=H=1m) [mm]r_2[/mm] und unten (in Höhe h=0) [mm]r_0[/mm] ist, so ist allgemein der Radius in Höhe h:
[mm] r = r_0 - \bruch{h}{H}(r_0-r_2) [/mm]
Und die Hubarbeit insgesamt:
[mm] W = \integral_0^H {\pi r^2 \rho g h dh}
= \pi\rho g\integral_0^H {\left(r_0-\bruch{h}{H} (r_0-r_2)\right)^2 h dh} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 So 13.01.2008 | | Autor: | Delija |
Erst einmal herzlich
Danke schön! bin übrigens begeistert, dass ich so schnell Antworten bekommen habe!
> Kegelstumpf:
> W=
> [pi*r²*p*g*h]
Diese Formel habe ich nicht verstanden. Du musst doch hier über die Variable h integrieren, wobei der Radius von der Höhe linear abhängt. Wenn der Radius oben (in Höhe h=H=1m) und unten (in Höhe h=0) ist, so ist allgemein der Radius in Höhe h:
Oh, da habe ich versucht das Integralzeichen einzufügen. Das hat aber wohl nicht ganz geklappt.
Hier noch einmal:
[mm] w=\integral_{0}^{H}{\pi \*0,42²\*p\*g\*h dh}
[/mm]
Wenn ich mir deines angucke, müsste meines dann aber falsch sein und ich denke ich verstehe auch warum.
DU hast das doch mit der Formel für Rotationskörper gemacht, wenn ich das richtig verstehe.
Ach so:
Die Zeichen stehen für
g=Erdbeschleunigung=9,81
p=Dichte
m=Masse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 So 13.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein! rainer hat nur eingesetzt, dass r von h abhängt, und du hast über die ganze Höhe nur r=0,44 genommen, deine Ameisen bauen also -ausser dem Fehler beim integrieren- eine Säule mit dem Radius 0,44!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 So 13.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast einen Fehler gemacht, oder ich versteh dein Vorgehen nicht!
1. richtig ist, dass die Arbeit für eine Schicht in Höhe h:
[mm] W=m_h*g*h [/mm] mit [mm] m_h=V_h*\rho=pi*r_h^2*dh*\rho
[/mm]
aber [mm] r_h [/mm] hast du nicht ausgerechnet! ich denk es ist am einfachsten
[mm] r_h [/mm] =(1-tan30*h)m
du hast die 0,44 (ich hab 0,423 raus) überall genommen.
dann musst du das von h=0 bis h=1m integrieren. (dabei aber bitte alle Konstanten vor das Integral ziehen! da liegt dein zweiter Fehler. Ich denk du hast irgendein Integral gebildet über h:
aber [mm] \integral_{a}^{b}{A*h dh}\ne 1/2(Ah)^2 [/mm] sondern
[mm] \integral_{a}^{b}{A*h dh}=A*\integral_{a}^{b}{h dh}
[/mm]
zur Kontrolle: die Ameisen müssen sicher weniger Arbeit leisten, als wenn sie die ganze masse in die halbe Höhe bringen.
Gruss leduart
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