Hüllfläche oder Randkurve? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kappen |
Hi, ich bins mal wieder.
Ich frage mich, woher ich erkennen soll bei einer geometrischen Figur, ob es sich um eine Hüllfläche oder eine Randkurve handelt.
Angenommen ich habe eine Halbkugeloberfläche mit [mm] H=\{x^2+y^2+z^2=4,z \ge 0 \}
[/mm]
Dazu gibts das Vektorfeld [mm] \vec{v}=\vektor{x\\x\\y-z}.
[/mm]
Gesucht ist das Flussintegral. Das kann ich direkt ausrechnen oder aber über Gauß gehen, wenn ich davon ausgehe, dass in der Kugel eben auch die Bodenfläche enthalten ist. Ist sie das? Kann ich das aus der Parametrisierung erkennen?
Über Gauß gehts schnell, die Divergenz ist=0 somit auch der Fluss=0, aber darf ich das überhaupt?
Könnte ich - angenommen ich lasse die Bodenplatte weg, sodass ich eine Randkurve erhalte - auch mit Stokes arbeiten?
Ich habe [mm] \vec{v} [/mm] extra so gewählt, dass ein Vektorpotential existiert mit rot [mm] \vec{w}=\vec{v}, [/mm] dann kann ich doch sagen
[mm] \integral_{H}^{}{rot\vec{v}\cdot d\vec{n}}=\integral_{H}^{}{\vec{w}\cdot d\vec{n}}=\integral_{\partial H}^{}{\vec{w}\cdot d\vec{r}}
[/mm]
Wenn ich das ausrechne kommt auch 0 raus.
Jetzt die Frage: Zufall oder kann man das so machen? Woher weiß ich denn dann ob die Hüllfläche geschlossen ist oder ob es es eine Randkurve gibt?
Und noch ne andere Frage:
Kann ich, wenn ich nur die Randkurve eines geometrischen Objektes und ein (vielleicht selbst gewähltes) Vektorfeld, für das ein Vektorpotential existiert auf die Oberfläche oder gar auf das Volumen zurückschließen? Oder geht das nur in die andere Richtung, also dass ich höherdimensionale Objekte "einstampfen" kann, dabei aber Informationen verliere?
Und hier dann direkt im Zusammenhang:
Wenn ich ein Vektorfeld so wähle, sodass ein Vektorpotential existiert, dann muss die Divergenz als notwendige Voraussetzung ja = 0 sein. Wenn ich jetzt über Stokes den Fluss und dann über Gauß das Volumen berechnen möchte (angenommen das funktioniert überhaupt in diese Richtung, s.o.), muss das Integral ja 0 sein, da ich ja extra Divergenz = 0 gewählt habe
Und: Dass das Kurvenintegral über den Kreisring =0 ist ist hier auch Zufall? Weil das Vektorfeld [mm] \vec{v} [/mm] von oben ist ja kein Gradientenfeld, damit ist ein geschlossenes Integral eigentlich nicht 0, oder?
Uff, wieder viel mehr geworden als ich wollte :( Soll ich die unteren Fragen in einen weiteren Thread auslagern?
Danke & schöne Grüße :))
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Di 01.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi, ich bins mal wieder.
>
> Ich frage mich, woher ich erkennen soll bei einer
> geometrischen Figur, ob es sich um eine Hüllfläche oder
> eine Randkurve handelt.
An der Dimension: eine Hüllfläche ist zweidimensional, eine Randkurve eindimensional.
> Angenommen ich habe eine Halbkugeloberfläche mit
> [mm]H=\{x^2+y^2+z^2=4,z \ge 0 \}[/mm]
Das ist eine Fläche, keine Kurve. Leicht daran zu erkennen, dass die Menge der Punkte im [mm] $\IR^3$ [/mm] durch eine einzelne Gleichung eingeschränkt wird. $3-1=2$.
> Dazu gibts das Vektorfeld
> [mm]\vec{v}=\vektor{x\\x\\y-z}.[/mm]
>
> Gesucht ist das Flussintegral. Das kann ich direkt
> ausrechnen oder aber über Gauß gehen, wenn ich davon
> ausgehe, dass in der Kugel eben auch die Bodenfläche
> enthalten ist. Ist sie das? Kann ich das aus der
> Parametrisierung erkennen?
Ja. Alle Punkte in H haben den Abstand 2 vom Ursprung. Die Bodenfläche gehört also nicht dazu.
> Über Gauß gehts schnell, die Divergenz ist=0 somit auch
> der Fluss=0, aber darf ich das überhaupt?
Du könntest argumentieren, dass damit das Oberflächenintegral über Halbkugeloberfläche + Bodenfläche gleich 0 ist, und damit das Oberflächenintegral über die Bodenfläche entgegengesetzt gleich dem gesuchten.
> Könnte ich - angenommen ich lasse die Bodenplatte weg,
> sodass ich eine Randkurve erhalte - auch mit Stokes
> arbeiten?
> Ich habe [mm]\vec{v}[/mm] extra so gewählt, dass ein
> Vektorpotential existiert mit rot [mm]\vec{w}=\vec{v},[/mm] dann
> kann ich doch sagen
> [mm]\integral_{H}^{}{rot\vec{v}\cdot d\vec{n}}=\integral_{H}^{}{\vec{w}\cdot d\vec{n}}=\integral_{\partial H}^{}{\vec{w}\cdot d\vec{r}}[/mm]
Nicht ganz, hier hast du v und w vertauscht:
[mm] \integral_{H} \vec{v}\cdot d\vec{n}} = \integral_H \mathop{\mathrm{rot}} \vec{w}\cdot d\vec{n}} = \integral_{\partial H}^{}{\vec{w}\cdot d\vec{r}}[/mm]
>
> Wenn ich das ausrechne kommt auch 0 raus.
Welches Vektorfeld hast du für [mm] $\vec{w}$ [/mm] genommen?
> Jetzt die Frage: Zufall oder kann man das so machen? Woher
> weiß ich denn dann ob die Hüllfläche geschlossen ist
> oder ob es es eine Randkurve gibt?
Das ist durch die Geometrie vorgegeben. Im vorliegenden Fall ist es ja klar; im Allgemeinen musst du dir die Geometrie des Integrationsgebiets anschauen.
> Und noch ne andere Frage:
> Kann ich, wenn ich nur die Randkurve eines geometrischen
> Objektes und ein (vielleicht selbst gewähltes) Vektorfeld,
> für das ein Vektorpotential existiert auf die Oberfläche
> oder gar auf das Volumen zurückschließen? Oder geht das
> nur in die andere Richtung, also dass ich
> höherdimensionale Objekte "einstampfen" kann, dabei aber
> Informationen verliere?
Die Integralsätze gehen in beide Richtungen. Wenn du eine Fläche $F$ mit Rand [mm] $\partial [/mm] F$ hast, auf der ein Vektorfeld [mm] $\vec{X}$ [/mm] definiert ist, dann ist ja
[mm] \integral_F \mathop{\mathrm{rot}} \vec{X} d\vec{n} = \integral_{\partial F} \vec{X}d\vec{s} [/mm],
und dabei ist es egal, ob du von dem Vektorfeld auf der Randkurve startest (rechts nach links) oder vom Vektorfeld auf der Fläche (links nach rechts). Es muss aber immer das Vektorfeld auf der ganzen Fläche F definiert sein.
>
> Und hier dann direkt im Zusammenhang:
> Wenn ich ein Vektorfeld so wähle, sodass ein
> Vektorpotential existiert, dann muss die Divergenz als
> notwendige Voraussetzung ja = 0 sein. Wenn ich jetzt über
> Stokes den Fluss und dann über Gauß das Volumen berechnen
> möchte (angenommen das funktioniert überhaupt in diese
> Richtung, s.o.), muss das Integral ja 0 sein, da ich ja
> extra Divergenz = 0 gewählt habe
Mit dem Satz von Gauß kannst du den Satz von Stokes nicht kombinieren: da einerseits [mm] $\mathop{\mathrm{div}} \mathop{\mathrm{rot}} \vec{X} [/mm] =0$ ist und andererseits eine Fläche mit Rand nicht Randfläche eines Volumens sein kann. (Die Randfläche eines Volumens ist immer eine geschlossene Fläche ohne Rand.)
>
> Und: Dass das Kurvenintegral über den Kreisring =0 ist ist
> hier auch Zufall? Weil das Vektorfeld [mm]\vec{v}[/mm] von oben ist
> ja kein Gradientenfeld, damit ist ein geschlossenes
> Integral eigentlich nicht 0, oder?
Du integrierst entlang der Randkurve nicht über v sondern über w.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Mi 02.03.2011 | | Autor: | kappen |
> Hallo!
>
> > Hi, ich bins mal wieder.
> >
> > Ich frage mich, woher ich erkennen soll bei einer
> > geometrischen Figur, ob es sich um eine Hüllfläche oder
> > eine Randkurve handelt.
>
> An der Dimension: eine Hüllfläche ist zweidimensional,
> eine Randkurve eindimensional.
Klingt einleuchtend.
>
> > Angenommen ich habe eine Halbkugeloberfläche mit
> > [mm]H=\{x^2+y^2+z^2=4,z \ge 0 \}[/mm]
>
> Das ist eine Fläche, keine Kurve. Leicht daran zu
> erkennen, dass die Menge der Punkte im [mm]\IR^3[/mm] durch eine
> einzelne Gleichung eingeschränkt wird. [mm]3-1=2[/mm].
Jo, okay. Meinte ich irgendwo, dass das eine Kurve ist?
Die 3 ist die Dimension, 1 Anzahl der Gleichungen?
Aber wird die Menge nicht eigentlich von 2 Gleichungen eingeschränkt? [mm] z\ge0 [/mm] ist doch auch eine (Un-)gleichung, oder?
>
> > Dazu gibts das Vektorfeld
> > [mm]\vec{v}=\vektor{x\\x\\y-z}.[/mm]
> >
> > Gesucht ist das Flussintegral. Das kann ich direkt
> > ausrechnen oder aber über Gauß gehen, wenn ich davon
> > ausgehe, dass in der Kugel eben auch die Bodenfläche
> > enthalten ist. Ist sie das? Kann ich das aus der
> > Parametrisierung erkennen?
>
> Ja. Alle Punkte in H haben den Abstand 2 vom Ursprung. Die
> Bodenfläche gehört also nicht dazu.
Okay. Klar & logisch, wenn man es gesagt bekommt :(
>
> > Über Gauß gehts schnell, die Divergenz ist=0 somit auch
> > der Fluss=0, aber darf ich das überhaupt?
>
> Du könntest argumentieren, dass damit das
> Oberflächenintegral über Halbkugeloberfläche +
> Bodenfläche gleich 0 ist, und damit das
> Oberflächenintegral über die Bodenfläche entgegengesetzt
> gleich dem gesuchten.
>
Also so, wie die Parametrisierung hier steht dürfte ich nicht Gauß nehmen, weil es keine geschlossene Hüllfläche gibt?
Dann bastel ich mir den Boden dazu und sehe, dass der Fluss durch beide Flächen hier 0 ist. Aber kann ich damit überhaupt genaue Aussagen über den Fluss durch die Oberfläche machen (also konkrete Werte angeben?)
Was ist, wenn der Fluss nicht gleich 0 ist, kann ich dann überhaupt was sagen, oder habe ich dann schlicht und einfach das "falsche" Integral berechnet?
> > Könnte ich - angenommen ich lasse die Bodenplatte weg,
> > sodass ich eine Randkurve erhalte - auch mit Stokes
> > arbeiten?
> > Ich habe [mm]\vec{v}[/mm] extra so gewählt, dass ein
> > Vektorpotential existiert mit rot [mm]\vec{w}=\vec{v},[/mm] dann
> > kann ich doch sagen
> > [mm]\integral_{H}^{}{rot\vec{v}\cdot d\vec{n}}=\integral_{H}^{}{\vec{w}\cdot d\vec{n}}=\integral_{\partial H}^{}{\vec{w}\cdot d\vec{r}}[/mm]
>
> Nicht ganz, hier hast du v und w vertauscht:
>
> [mm]\integral_{H} \vec{v}\cdot d\vec{n}} = \integral_H \mathop{\mathrm{rot}} \vec{w}\cdot d\vec{n}} = \integral_{\partial H}^{}{\vec{w}\cdot d\vec{r}}[/mm]
>
Ach scheiße.. da drüber stehts doch noch richtig rum..
> >
> > Wenn ich das ausrechne kommt auch 0 raus.
>
> Welches Vektorfeld hast du für [mm]\vec{w}[/mm] genommen?
>
Das falsche ;)
Ich rechne das gleich nochmal neu.
> > Jetzt die Frage: Zufall oder kann man das so machen? Woher
> > weiß ich denn dann ob die Hüllfläche geschlossen ist
> > oder ob es es eine Randkurve gibt?
>
> Das ist durch die Geometrie vorgegeben. Im vorliegenden
> Fall ist es ja klar; im Allgemeinen musst du dir die
> Geometrie des Integrationsgebiets anschauen.
Integrationsgebiet entspricht der Parametrisierung in ihrem maximalen Parameter Intervallen?
>
> > Und noch ne andere Frage:
> > Kann ich, wenn ich nur die Randkurve eines
> geometrischen
> > Objektes und ein (vielleicht selbst gewähltes) Vektorfeld,
> > für das ein Vektorpotential existiert auf die Oberfläche
> > oder gar auf das Volumen zurückschließen? Oder geht das
> > nur in die andere Richtung, also dass ich
> > höherdimensionale Objekte "einstampfen" kann, dabei aber
> > Informationen verliere?
>
> Die Integralsätze gehen in beide Richtungen. Wenn du eine
> Fläche [mm]F[/mm] mit Rand [mm]\partial F[/mm] hast, auf der ein Vektorfeld
> [mm]\vec{X}[/mm] definiert ist, dann ist ja
>
> [mm]\integral_F \mathop{\mathrm{rot}} \vec{X} d\vec{n} = \integral_{\partial F} \vec{X}d\vec{s} [/mm],
>
> und dabei ist es egal, ob du von dem Vektorfeld auf der
> Randkurve startest (rechts nach links) oder vom Vektorfeld
> auf der Fläche (links nach rechts). Es muss aber immer das
> Vektorfeld auf der ganzen Fläche F definiert sein.
>
Ja, das ist mir klar, dass die Sätze "in sich" in beide Richtungen gehen.
>
> >
> > Und hier dann direkt im Zusammenhang:
> > Wenn ich ein Vektorfeld so wähle, sodass ein
> > Vektorpotential existiert, dann muss die Divergenz als
> > notwendige Voraussetzung ja = 0 sein. Wenn ich jetzt über
> > Stokes den Fluss und dann über Gauß das Volumen berechnen
> > möchte (angenommen das funktioniert überhaupt in diese
> > Richtung, s.o.), muss das Integral ja 0 sein, da ich ja
> > extra Divergenz = 0 gewählt habe
>
> Mit dem Satz von Gauß kannst du den Satz von Stokes nicht
> kombinieren: da einerseits [mm]\mathop{\mathrm{div}} \mathop{\mathrm{rot}} \vec{X} =0[/mm]
> ist und andererseits eine Fläche mit Rand nicht
> Randfläche eines Volumens sein kann. (Die Randfläche
> eines Volumens ist immer eine geschlossene Fläche ohne
> Rand.)
>
Okay. Also entweder Gauß bei geschlossenen Randflächen oder Stokes bei Randkurven. Man kann sie nicht kombinieren?
Aber eigentlich dachte ich, Stokes sei allgemeiner und würde auf jede Menge Dimensionen zutreffen, oder ist der obige Satz von Stokes tatsächlich nur als Zusammenhang zwischen einer Fläche und der Randkurve im [mm] R^2?
[/mm]
>
> >
> > Und: Dass das Kurvenintegral über den Kreisring =0 ist ist
> > hier auch Zufall? Weil das Vektorfeld [mm]\vec{v}[/mm] von oben ist
> > ja kein Gradientenfeld, damit ist ein geschlossenes
> > Integral eigentlich nicht 0, oder?
>
> Du integrierst entlang der Randkurve nicht über v sondern
> über w.
Jojo...
>
Um mal ein kleines Fazit für mich hinzuschreiben: Entweder Stokes oder Gauß, beides zusammen ist nicht gut wegen der benötigten Beschaffenheit der Randflächen/-Kurven (und weil ich das Gebiet nicht irgendwie verändern darf, also in Stokes ohne und beim Gauß mit Bodenplatte oder so) und hier wäre bei der gegebenen Parametrisierung tatsächlich nur Stokes korrekt gewesen?
> Viele Grüße
> Rainer
>
Viele Grüße zurück & danke,
kappen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mi 02.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > Hi, ich bins mal wieder.
> > >
> > > Ich frage mich, woher ich erkennen soll bei einer
> > > geometrischen Figur, ob es sich um eine Hüllfläche oder
> > > eine Randkurve handelt.
> >
> > An der Dimension: eine Hüllfläche ist zweidimensional,
> > eine Randkurve eindimensional.
> Klingt einleuchtend.
> >
> > > Angenommen ich habe eine Halbkugeloberfläche mit
> > > [mm]H=\{x^2+y^2+z^2=4,z \ge 0 \}[/mm]
> >
> > Das ist eine Fläche, keine Kurve. Leicht daran zu
> > erkennen, dass die Menge der Punkte im [mm]\IR^3[/mm] durch eine
> > einzelne Gleichung eingeschränkt wird. [mm]3-1=2[/mm].
> Jo, okay. Meinte ich irgendwo, dass das eine Kurve ist?
So habe ich deinen ersten Absatz oben verstanden.
> Die 3 ist die Dimension, 1 Anzahl der Gleichungen?
> Aber wird die Menge nicht eigentlich von 2 Gleichungen
> eingeschränkt? [mm]z\ge0[/mm] ist doch auch eine (Un-)gleichung,
> oder?
Aber die schränkt die Dimension nicht ein. Alle Punkte des [mm] $\IR^3$ [/mm] mit [mm] $z\be [/mm] 0$ bilden immer noch eine dreidimensionale Menge.
(Man kann nicht naiv die Anzahl der Gleichungen abziehen, wenn z.B. zwei Gleichungen dieselbe Bedingung formulieren.)
> >
> > > Dazu gibts das Vektorfeld
> > > [mm]\vec{v}=\vektor{x\\x\\y-z}.[/mm]
> > >
> > > Gesucht ist das Flussintegral. Das kann ich direkt
> > > ausrechnen oder aber über Gauß gehen, wenn ich davon
> > > ausgehe, dass in der Kugel eben auch die Bodenfläche
> > > enthalten ist. Ist sie das? Kann ich das aus der
> > > Parametrisierung erkennen?
> >
> > Ja. Alle Punkte in H haben den Abstand 2 vom Ursprung. Die
> > Bodenfläche gehört also nicht dazu.
> Okay. Klar & logisch, wenn man es gesagt bekommt :(
> >
> > > Über Gauß gehts schnell, die Divergenz ist=0 somit auch
> > > der Fluss=0, aber darf ich das überhaupt?
> >
> > Du könntest argumentieren, dass damit das
> > Oberflächenintegral über Halbkugeloberfläche +
> > Bodenfläche gleich 0 ist, und damit das
> > Oberflächenintegral über die Bodenfläche entgegengesetzt
> > gleich dem gesuchten.
> >
> Also so, wie die Parametrisierung hier steht dürfte ich
> nicht Gauß nehmen, weil es keine geschlossene Hüllfläche
> gibt?
Korrekt.
> Dann bastel ich mir den Boden dazu und sehe, dass der
> Fluss durch beide Flächen hier 0 ist.
Richtig.
> Aber kann ich damit
> überhaupt genaue Aussagen über den Fluss durch die
> Oberfläche machen (also konkrete Werte angeben?)
Die Frage verstehe ich nicht.
> Was ist, wenn der Fluss nicht gleich 0 ist, kann ich dann
> überhaupt was sagen, oder habe ich dann schlicht und
> einfach das "falsche" Integral berechnet?
Die Identität bleibt so oder so richtig: Oberflächenintegral über H plus Oberflächenintegral über die Bodenplatte = Volumenintegral über das eingeschlossene Volumen. Zum Beispiel könnte es ja sein, dass es schwierig ist, das Oberflächenintegral über H auszurechnen, die anderen beiden Integrale aber einfach.
> > > Könnte ich - angenommen ich lasse die Bodenplatte
> weg,
> > > sodass ich eine Randkurve erhalte - auch mit Stokes
> > > arbeiten?
> > > Ich habe [mm]\vec{v}[/mm] extra so gewählt, dass ein
> > > Vektorpotential existiert mit rot [mm]\vec{w}=\vec{v},[/mm] dann
> > > kann ich doch sagen
> > > [mm]\integral_{H}^{}{rot\vec{v}\cdot d\vec{n}}=\integral_{H}^{}{\vec{w}\cdot d\vec{n}}=\integral_{\partial H}^{}{\vec{w}\cdot d\vec{r}}[/mm]
>
> >
> > Nicht ganz, hier hast du v und w vertauscht:
> >
> > [mm]\integral_{H} \vec{v}\cdot d\vec{n}} = \integral_H \mathop{\mathrm{rot}} \vec{w}\cdot d\vec{n}} = \integral_{\partial H}^{}{\vec{w}\cdot d\vec{r}}[/mm]
>
> >
> Ach scheiße.. da drüber stehts doch noch richtig rum..
> > >
> > > Wenn ich das ausrechne kommt auch 0 raus.
> >
> > Welches Vektorfeld hast du für [mm]\vec{w}[/mm] genommen?
> >
> Das falsche ;)
> Ich rechne das gleich nochmal neu.
> > > Jetzt die Frage: Zufall oder kann man das so machen?
> Woher
> > > weiß ich denn dann ob die Hüllfläche geschlossen ist
> > > oder ob es es eine Randkurve gibt?
> >
> > Das ist durch die Geometrie vorgegeben. Im vorliegenden
> > Fall ist es ja klar; im Allgemeinen musst du dir die
> > Geometrie des Integrationsgebiets anschauen.
> Integrationsgebiet entspricht der Parametrisierung in
> ihrem maximalen Parameter Intervallen?
> >
> > > Und noch ne andere Frage:
> > > Kann ich, wenn ich nur die Randkurve eines
> > geometrischen
> > > Objektes und ein (vielleicht selbst gewähltes) Vektorfeld,
> > > für das ein Vektorpotential existiert auf die Oberfläche
> > > oder gar auf das Volumen zurückschließen? Oder geht das
> > > nur in die andere Richtung, also dass ich
> > > höherdimensionale Objekte "einstampfen" kann, dabei aber
> > > Informationen verliere?
> >
> > Die Integralsätze gehen in beide Richtungen. Wenn du eine
> > Fläche [mm]F[/mm] mit Rand [mm]\partial F[/mm] hast, auf der ein Vektorfeld
> > [mm]\vec{X}[/mm] definiert ist, dann ist ja
> >
> > [mm]\integral_F \mathop{\mathrm{rot}} \vec{X} d\vec{n} = \integral_{\partial F} \vec{X}d\vec{s} [/mm],
>
> >
> > und dabei ist es egal, ob du von dem Vektorfeld auf der
> > Randkurve startest (rechts nach links) oder vom Vektorfeld
> > auf der Fläche (links nach rechts). Es muss aber immer das
> > Vektorfeld auf der ganzen Fläche F definiert sein.
> >
> Ja, das ist mir klar, dass die Sätze "in sich" in beide
> Richtungen gehen.
> >
> > >
> > > Und hier dann direkt im Zusammenhang:
> > > Wenn ich ein Vektorfeld so wähle, sodass ein
> > > Vektorpotential existiert, dann muss die Divergenz als
> > > notwendige Voraussetzung ja = 0 sein. Wenn ich jetzt über
> > > Stokes den Fluss und dann über Gauß das Volumen berechnen
> > > möchte (angenommen das funktioniert überhaupt in diese
> > > Richtung, s.o.), muss das Integral ja 0 sein, da ich ja
> > > extra Divergenz = 0 gewählt habe
> >
> > Mit dem Satz von Gauß kannst du den Satz von Stokes nicht
> > kombinieren: da einerseits [mm]\mathop{\mathrm{div}} \mathop{\mathrm{rot}} \vec{X} =0[/mm]
> > ist und andererseits eine Fläche mit Rand nicht
> > Randfläche eines Volumens sein kann. (Die Randfläche
> > eines Volumens ist immer eine geschlossene Fläche ohne
> > Rand.)
> >
> Okay. Also entweder Gauß bei geschlossenen Randflächen
> oder Stokes bei Randkurven. Man kann sie nicht
> kombinieren?
>
> Aber eigentlich dachte ich, Stokes sei allgemeiner und
> würde auf jede Menge Dimensionen zutreffen, oder ist der
> obige Satz von Stokes tatsächlich nur als Zusammenhang
> zwischen einer Fläche und der Randkurve im [mm]R^2?[/mm]
Da ist die Bezeichnung etwas uneinheitlich: Mit Satz von Stokes wird sowohl die spezielle Form
[mm] \integral_F \mathop{\mathrm{rot}} \vec{X} d\vec{n} = \integral_{\partial F} \vec{X}d\vec{s} [/mm]
als auch die Verallgemeinerung auf das Integral einer $(n-1)$-Form [mm] $\omega$ [/mm] über den Rand einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$
[mm] \integral_M d\omega = \integral_{\partial} \omega [/mm]
bezeichnet.
Letztere ergibt im Fall $n=3$ gerade den Satz von Gauss, im Fall $n=2$ den (speziellen) Satz von Stokes und im Fall $n=1$ den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
> > > Und: Dass das Kurvenintegral über den Kreisring =0 ist ist
> > > hier auch Zufall? Weil das Vektorfeld [mm]\vec{v}[/mm] von oben ist
> > > ja kein Gradientenfeld, damit ist ein geschlossenes
> > > Integral eigentlich nicht 0, oder?
> >
> > Du integrierst entlang der Randkurve nicht über v sondern
> > über w.
> Jojo...
> >
> Um mal ein kleines Fazit für mich hinzuschreiben: Entweder
> Stokes oder Gauß, beides zusammen ist nicht gut wegen der
> benötigten Beschaffenheit der Randflächen/-Kurven (und
> weil ich das Gebiet nicht irgendwie verändern darf, also
> in Stokes ohne und beim Gauß mit Bodenplatte oder so) und
> hier wäre bei der gegebenen Parametrisierung tatsächlich
> nur Stokes korrekt gewesen?
Ich weiss nicht, was du hier mit Parametrisierung meinst; bisher hast du nicht parametrisiert. Für die gegebene Geometrie ist nur der (spezielle) Satz von Stokes direkt anwendbar.
Aber niemand hindert dich, die Menge $M$ zu parametrisieren, z.B. durch
[mm] \vektor{x\\y\\z} = \vektor{2\sin\theta\cos\phi\\2\sin\theta\sin\phi\\2\cos\theta} [/mm], [mm] $0\le\phi<2\pi$, $0\le \theta\le \pi/2$
[/mm]
und das gesuchte Oberflächenintegral direkt auszurechnen.
Das Oberflächenelement ist
[mm] d\vec{n} = 4\sin\theta \vektor{\sin\theta\cos\phi\\\sin\theta\sin\phi\\\cos\theta} d\theta d\phi [/mm]
und damit das Integral gleich
[mm] \integral_0^{\pi/2} \integral_0^{2\pi} \vektor{2\sin\theta\cos\phi\\2\sin\theta\cos\phi\\2\sin\theta\sin\phi-2\cos\theta}* 4\sin\theta \vektor{\sin\theta\cos\phi\\\sin\theta\sin\phi\\\cos\theta} d\phi d\theta = 0 [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Do 03.03.2011 | | Autor: | kappen |
Hi :)
> > > > Angenommen ich habe eine Halbkugeloberfläche mit
> > > > [mm]H=\{x^2+y^2+z^2=4,z \ge 0 \}[/mm]
> > >
> > > Das ist eine Fläche, keine Kurve. Leicht daran zu
> > > erkennen, dass die Menge der Punkte im [mm]\IR^3[/mm] durch eine
> > > einzelne Gleichung eingeschränkt wird. [mm]3-1=2[/mm].
> > Jo, okay. Meinte ich irgendwo, dass das eine Kurve ist?
>
> So habe ich deinen ersten Absatz oben verstanden.
>
Dann hab' ich mich vielleicht falsch ausgedrückt, mir ist durchaus klar, dass das eine Oberfläche ist, aber war mir jetzt nicht 100% sicher, ob der Boden dabei ist oder nicht.
> > Die 3 ist die Dimension, 1 Anzahl der Gleichungen?
> > Aber wird die Menge nicht eigentlich von 2 Gleichungen
> > eingeschränkt? [mm]z\ge0[/mm] ist doch auch eine (Un-)gleichung,
> > oder?
>
> Aber die schränkt die Dimension nicht ein. Alle Punkte des
> [mm]\IR^3[/mm] mit [mm]z\be 0[/mm] bilden immer noch eine dreidimensionale
> Menge.
>
> (Man kann nicht naiv die Anzahl der Gleichungen abziehen,
> wenn z.B. zwei Gleichungen dieselbe Bedingung
> formulieren.)
>
Ok
> > > Du könntest argumentieren, dass damit das
> > > Oberflächenintegral über Halbkugeloberfläche +
> > > Bodenfläche gleich 0 ist, und damit das
> > > Oberflächenintegral über die Bodenfläche entgegengesetzt
> > > gleich dem gesuchten.
> > >
> > Also so, wie die Parametrisierung hier steht dürfte ich
> > nicht Gauß nehmen, weil es keine geschlossene Hüllfläche
> > gibt?
>
> Korrekt.
ok
>
> > Dann bastel ich mir den Boden dazu und sehe, dass der
> > Fluss durch beide Flächen hier 0 ist.
>
> Richtig.
ok
>
> > Aber kann ich damit
> > überhaupt genaue Aussagen über den Fluss durch die
> > Oberfläche machen (also konkrete Werte angeben?)
>
> Die Frage verstehe ich nicht.
Wollte eigentlich wissen, ob ich nur mit dem Integral über die Hüllfläche, das hier 0 ist etwas über den Fluss durch die Oberfläche ohne Boden sagen kann, außer, dass er genau gegengesetzt groß ist.
Aber frage mich gerade selbst wie das gehen soll.
>
> > Was ist, wenn der Fluss nicht gleich 0 ist, kann ich dann
> > überhaupt was sagen, oder habe ich dann schlicht und
> > einfach das "falsche" Integral berechnet?
>
> Die Identität bleibt so oder so richtig:
> Oberflächenintegral über H plus Oberflächenintegral
> über die Bodenplatte = Volumenintegral über das
> eingeschlossene Volumen. Zum Beispiel könnte es ja sein,
> dass es schwierig ist, das Oberflächenintegral über H
> auszurechnen, die anderen beiden Integrale aber einfach.
>
An sowas habe ich noch garnicht gedacht, das wäre ja in der Tat eine interessante Herangehensweise. Kann ich auf unsere linke Seite von Gauß tatsächlich eine Summe aus beiden Flüssen angeben?
Sprich den "normalen" Fluss wie immer von beiden geometrischen Objekten hinschreiben, die u.U. auch unterschiedlich parametrisiert sein können?
Und trotzdem gilt Gauß noch, weil die Summe ein geschlossenes Gebiet/Randfläche darstellt, oder kann man das nicht so naiv sehen?
> > Aber eigentlich dachte ich, Stokes sei allgemeiner und
> > würde auf jede Menge Dimensionen zutreffen, oder ist der
> > obige Satz von Stokes tatsächlich nur als Zusammenhang
> > zwischen einer Fläche und der Randkurve im [mm]R^2?[/mm]
>
> Da ist die Bezeichnung etwas uneinheitlich: Mit Satz von
> Stokes wird sowohl die spezielle Form
>
> [mm]\integral_F \mathop{\mathrm{rot}} \vec{X} d\vec{n} = \integral_{\partial F} \vec{X}d\vec{s}[/mm]
>
> als auch die Verallgemeinerung auf das Integral einer
> [mm](n-1)[/mm]-Form [mm]\omega[/mm] über den Rand einer n-dimensionalen
> Mannigfaltigkeit [mm]M[/mm]
>
> [mm]\integral_M d\omega = \integral_{\partial} \omega[/mm]
>
> bezeichnet.
>
> Letztere ergibt im Fall [mm]n=3[/mm] gerade den Satz von Gauss, im
> Fall [mm]n=2[/mm] den (speziellen) Satz von Stokes und im Fall [mm]n=1[/mm]
> den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
>
Klingt interessant. Ließt sich irgendwie einfacher, als Gauß/Stokes, aber ist bestimmt mathematisch viel komplexer. Woran liegt es, dass beim Gauß z.B. die Divergenz und bei Stokes die Rotation verwendet werden muss, oder sprengt das hier den Rahmen?
>
> Ich weiss nicht, was du hier mit Parametrisierung meinst;
> bisher hast du nicht parametrisiert. Für die gegebene
> Geometrie ist nur der (spezielle) Satz von Stokes direkt
> anwendbar.
>
Da hast du Recht, da habe ich eigentlich nicht die Parametrisierung gemeint, sondern die Beschreibung des Gebietes.
> Aber niemand hindert dich, die Menge [mm]M[/mm] zu parametrisieren,
> z.B. durch
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z} = \vektor{2\sin\theta\cos\phi\\2\sin\theta\sin\phi\\2\cos\theta} [/mm],
> [mm]0\le\phi<2\pi[/mm], [mm]0\le \theta\le \pi/2[/mm]
>
> und das gesuchte Oberflächenintegral direkt auszurechnen.
>
> Das Oberflächenelement ist
>
> [mm]d\vec{n} = 4\sin\theta \vektor{\sin\theta\cos\phi\\\sin\theta\sin\phi\\\cos\theta} d\theta d\phi[/mm]
>
> und damit das Integral gleich
>
> [mm]\integral_0^{\pi/2} \integral_0^{2\pi} \vektor{2\sin\theta\cos\phi\\2\sin\theta\cos\phi\\2\sin\theta\sin\phi-2\cos\theta}* 4\sin\theta \vektor{\sin\theta\cos\phi\\\sin\theta\sin\phi\\\cos\theta} d\phi d\theta = 0[/mm]
> .
>
Jo, danke. Das ist ja das "ganz" normale Flussintegral, das ist mir klar, wie ich das ausrechnen kann. Wollte halt die Zusammenhänge zu den Integralsätzen daran lernen.
Aber kann ja eben gut sein, dass
> Viele Grüße
> Rainer
>
Hilfst mir sehr weiter :)
Dankeschön
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Fr 04.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Die Identität bleibt so oder so richtig:
> > Oberflächenintegral über H plus Oberflächenintegral
> > über die Bodenplatte = Volumenintegral über das
> > eingeschlossene Volumen. Zum Beispiel könnte es ja sein,
> > dass es schwierig ist, das Oberflächenintegral über H
> > auszurechnen, die anderen beiden Integrale aber einfach.
> >
> An sowas habe ich noch garnicht gedacht, das wäre ja in
> der Tat eine interessante Herangehensweise. Kann ich auf
> unsere linke Seite von Gauß tatsächlich eine Summe aus
> beiden Flüssen angeben?
> Sprich den "normalen" Fluss wie immer von beiden
> geometrischen Objekten hinschreiben, die u.U. auch
> unterschiedlich parametrisiert sein können?
> Und trotzdem gilt Gauß noch, weil die Summe ein
> geschlossenes Gebiet/Randfläche darstellt, oder kann man
> das nicht so naiv sehen?
Doch, das ist genau so. Du kannst das Integral in mehrere Teilintegrale zerlegen und auch unterschiedliche Parametrisierungen wählen.
> > > Aber eigentlich dachte ich, Stokes sei allgemeiner und
> > > würde auf jede Menge Dimensionen zutreffen, oder ist der
> > > obige Satz von Stokes tatsächlich nur als Zusammenhang
> > > zwischen einer Fläche und der Randkurve im [mm]R^2?[/mm]
> >
> > Da ist die Bezeichnung etwas uneinheitlich: Mit Satz von
> > Stokes wird sowohl die spezielle Form
> >
> > [mm]\integral_F \mathop{\mathrm{rot}} \vec{X} d\vec{n} = \integral_{\partial F} \vec{X}d\vec{s}[/mm]
>
> >
> > als auch die Verallgemeinerung auf das Integral einer
> > [mm](n-1)[/mm]-Form [mm]\omega[/mm] über den Rand einer n-dimensionalen
> > Mannigfaltigkeit [mm]M[/mm]
> >
> > [mm]\integral_M d\omega = \integral_{\partial} \omega[/mm]
> >
> > bezeichnet.
> >
> > Letztere ergibt im Fall [mm]n=3[/mm] gerade den Satz von Gauss, im
> > Fall [mm]n=2[/mm] den (speziellen) Satz von Stokes und im Fall [mm]n=1[/mm]
> > den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
> >
> Klingt interessant. Ließt sich irgendwie einfacher, als
> Gauß/Stokes, aber ist bestimmt mathematisch viel
> komplexer. Woran liegt es, dass beim Gauß z.B. die
> Divergenz und bei Stokes die Rotation verwendet werden
> muss, oder sprengt das hier den Rahmen?
Eigentlich schon; dazu müsstest du dich mit alternierenden Differentialformen anfreunden. Der Satz von Gauß hat die gleiche Form in beliebigen n-dimensionalen Räumen, während die spezielle Form des Satzes von Stokes ganz wesentlich daran hängt, dass wir uns im dreidimensionalen Raum bewegen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Sa 05.03.2011 | | Autor: | kappen |
Okay super :)
Dankeschön!
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