Hurwitz-Kriterium < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 So 08.07.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo,
ich habe gelesen, daß das Hurwitz-Kriterium für negativ definite Matrizen eine triviale Folgerung von dem Hurwitz-Kriterium für positiv definite Matrizen ist.
Kann mir bitte jemand diese triviale Folgerung aufzeigen und mir verständlich erklären?
LG
Takota
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Mo 09.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe gelesen, daß das Hurwitz-Kriterium für negativ
> definite Matrizen eine triviale Folgerung von dem
> Hurwitz-Kriterium für positiv definite Matrizen ist.
>
> Kann mir bitte jemand diese triviale Folgerung aufzeigen
> und mir verständlich erklären?
Sei A eine symmetrische $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix.
A ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] alle führenden Hauptminoren sind positiv.
Damit ergibt sich:
A ist negativ definit [mm] \gdw [/mm] -A ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] die Vorzeichen der führenden Hauptminoren alternieren.
>
> LG
> Takota
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mo 09.07.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo FRED,
danke für die Rückmeldung. Leider verstehe ich schon die erste Äquivalenz nicht:
A ist negativ definit $ [mm] \gdw [/mm] $ -A ist positiv definit
Wie kann man das Einsehen? Dazu habe ich mir folgendes überlegt:
Ausgehend von der Definition für negativ definit, also $ [mm] \vec [/mm] x ^T A [mm] \vec [/mm] x < 0$ folgt:
$ [mm] \vec [/mm] x ^T A [mm] \vec [/mm] x < 0 [mm] \gdw (-1)\vec [/mm] x ^T A [mm] \vec [/mm] x > 0 = [mm] \vec [/mm] x ^T (-)A [mm] \vec [/mm] x > 0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] A ist negativ definit $ [mm] \gdw [/mm] $ -A ist positiv definit
Was meinst Du dazu?
Gruß
Takota
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mo 09.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
> danke für die Rückmeldung. Leider verstehe ich schon die
> erste Äquivalenz nicht:
>
> A ist negativ definit [mm]\gdw[/mm] -A ist positiv definit
>
> Wie kann man das Einsehen? Dazu habe ich mir folgendes
> überlegt:
>
> Ausgehend von der Definition für negativ definit, also
> [mm]\vec x ^T A \vec x < 0[/mm] folgt:
>
> [mm]\vec x ^T A \vec x < 0 \gdw (-1)\vec x ^T A \vec x > 0 = \vec x ^T (-)A \vec x > 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A ist negativ definit [mm]\gdw[/mm] -A ist positiv
> definit
>
> Was meinst Du dazu?
Alles bestens
>
> Gruß
> Takota
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mo 09.07.2018 | | Autor: | Takota |
Das freut mich 
Dann versuch ich mich mal an der nächsten Äquivalenz: "-A positiv definit [mm] $\gdw$ $(-1)^k*A_k$"
[/mm]
Mit:
[mm] $A^U:=-A$;
[/mm]
[mm] $A^U_k:=$ [/mm] Der k-te Hauptminor von der Matrix [mm] $A^U$;
[/mm]
[mm] $A^U_{kxk}$ [/mm] := Die Untermatrix des k-ten Hauptminor und
[mm] $A_k$:=k-te [/mm] Hauptminor von der Matrix A.
Da nach Voraussetzung [mm] $A^U$ [/mm] positiv definit ist, muß jeder k-te Hauptminor, nach Hurwitz-Kriterium, positiv sein, d.h.:
[mm] $A^U_k [/mm] := [mm] det(A^U_{kxk})$ [/mm] > 0 $ [mm] \forall [/mm] k [mm] \varepsilon \{1,2,...,n\}$
[/mm]
Allgemein gilt: [mm] det(\lambda [/mm] A) = [mm] \lambda [/mm] * det(A)
Da in [mm] $A^U_k$ [/mm] der Faktor (-1)jeweils in den k-Spalten, bzw., k-Zeilen dieser Untermatrix enthalten ist folgt:
[mm] $A^U_k [/mm] = [mm] det(A^U_{kxk}) [/mm] = [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] det(A_{kxk}) [/mm] = [mm] (-1)^k*A_k [/mm] > 0$; $ [mm] \forall [/mm] k [mm] \varepsilon \{1,2,...,n\} [/mm] $
q.e.d
Daraus folgt schließlich insgesamt:
Die Matrix A ist negativ definit [mm] $\gdw (-1)^k*A_k [/mm] > 0 $ ; [mm] \forall [/mm] k [mm] \varepsilon \{1,2,...,n\}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
LG
Takota
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Mo 09.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Das freut mich
>
> Dann versuch ich mich mal an der nächsten Äquivalenz: "-A
> positiv definit [mm]\gdw[/mm] [mm](-1)^k*A_k[/mm]"
>
> Mit:
> [mm]A^U:=-A[/mm];
>
> [mm]A^U_k:=[/mm] Der k-te Hauptminor von der Matrix [mm]A^U[/mm];
>
> [mm]A^U_{kxk}[/mm] := Die Untermatrix des k-ten Hauptminor und
>
> [mm]A_k[/mm]:=k-te Hauptminor von der Matrix A.
>
> Da nach Voraussetzung [mm]A^U[/mm] positiv definit ist, muß jeder
> k-te Hauptminor, nach Hurwitz-Kriterium, positiv sein,
> d.h.:
>
> [mm]A^U_k := det(A^U_{kxk})[/mm] > 0 [mm]\forall k \varepsilon \{1,2,...,n\}[/mm]
>
> Allgemein gilt: [mm]det(\lambda[/mm] A) = [mm]\lambda[/mm] * det(A)
Nein. Ist A eine nxn - Matrix, so ist [mm] $\det( \lambda A)=\lambda^n \det(A)$
[/mm]
>
> Da in [mm]A^U_k[/mm] der Faktor (-1)jeweils in den k-Spalten, bzw.,
> k-Zeilen dieser Untermatrix enthalten ist folgt:
>
> [mm]A^U_k = det(A^U_{kxk}) = (-1)^k * det(A_{kxk}) = (-1)^k*A_k > 0[/mm];
> [mm]\forall k \varepsilon \{1,2,...,n\}[/mm]
>
> q.e.d
>
> Daraus folgt schließlich insgesamt:
>
> Die Matrix A ist negativ definit [mm]\gdw (-1)^k*A_k > 0[/mm] ;
> [mm]\forall[/mm] k [mm]\varepsilon \{1,2,...,n\}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Sieht gut aus.
>
> LG
> Takota
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