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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Hurwitz-Kriterium
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Hurwitz-Kriterium: Beweis negativ definit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 So 08.07.2018
Autor: Takota

Hallo,

ich habe gelesen, daß das Hurwitz-Kriterium für negativ definite Matrizen eine triviale Folgerung von dem Hurwitz-Kriterium für positiv definite Matrizen ist.

Kann mir bitte jemand diese triviale Folgerung aufzeigen und mir verständlich erklären?

LG
Takota

        
Bezug
Hurwitz-Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:04 Mo 09.07.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe gelesen, daß das Hurwitz-Kriterium für negativ
> definite Matrizen eine triviale Folgerung von dem
> Hurwitz-Kriterium für positiv definite Matrizen ist.
>  
> Kann mir bitte jemand diese triviale Folgerung aufzeigen
> und mir verständlich erklären?

Sei A eine symmetrische $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix.

A ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] alle führenden Hauptminoren sind positiv.

Damit ergibt sich:

A ist negativ definit [mm] \gdw [/mm] -A ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] die Vorzeichen der führenden Hauptminoren alternieren.

>  
> LG
>  Takota


Bezug
                
Bezug
Hurwitz-Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 Mo 09.07.2018
Autor: Takota

Hallo FRED,
danke für die Rückmeldung. Leider verstehe ich schon die erste Äquivalenz nicht:

A ist negativ definit $ [mm] \gdw [/mm] $ -A ist positiv definit

Wie kann man das Einsehen? Dazu habe ich mir folgendes überlegt:

Ausgehend von der Definition für negativ definit, also $ [mm] \vec [/mm] x ^T A [mm] \vec [/mm] x <  0$ folgt:

$ [mm] \vec [/mm] x ^T A [mm] \vec [/mm] x <  0 [mm] \gdw (-1)\vec [/mm] x ^T A [mm] \vec [/mm] x > 0 = [mm] \vec [/mm] x ^T (-)A [mm] \vec [/mm] x > 0$

[mm] $\Rightarrow$ [/mm] A ist negativ definit $ [mm] \gdw [/mm] $ -A ist positiv definit

Was meinst Du dazu?

Gruß
Takota

Bezug
                        
Bezug
Hurwitz-Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Mo 09.07.2018
Autor: fred97


> Hallo FRED,
>  danke für die Rückmeldung. Leider verstehe ich schon die
> erste Äquivalenz nicht:
>  
> A ist negativ definit [mm]\gdw[/mm] -A ist positiv definit
>  
> Wie kann man das Einsehen? Dazu habe ich mir folgendes
> überlegt:
>  
> Ausgehend von der Definition für negativ definit, also
> [mm]\vec x ^T A \vec x < 0[/mm] folgt:
>  
> [mm]\vec x ^T A \vec x < 0 \gdw (-1)\vec x ^T A \vec x > 0 = \vec x ^T (-)A \vec x > 0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] A ist negativ definit [mm]\gdw[/mm] -A ist positiv
> definit
>  
> Was meinst Du dazu?

Alles bestens

>  
> Gruß
>  Takota


Bezug
                                
Bezug
Hurwitz-Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Mo 09.07.2018
Autor: Takota

Das freut mich :-)

Dann versuch ich mich mal an der nächsten Äquivalenz: "-A positiv definit [mm] $\gdw$ $(-1)^k*A_k$" [/mm]

Mit:
[mm] $A^U:=-A$; [/mm]

[mm] $A^U_k:=$ [/mm] Der k-te Hauptminor von der Matrix [mm] $A^U$; [/mm]

[mm] $A^U_{kxk}$ [/mm] := Die Untermatrix des k-ten Hauptminor und

[mm] $A_k$:=k-te [/mm] Hauptminor von der Matrix A.

Da nach Voraussetzung [mm] $A^U$ [/mm] positiv definit ist, muß jeder k-te Hauptminor, nach Hurwitz-Kriterium, positiv sein, d.h.:

[mm] $A^U_k [/mm] := [mm] det(A^U_{kxk})$ [/mm] > 0 $ [mm] \forall [/mm] k [mm] \varepsilon \{1,2,...,n\}$ [/mm]

Allgemein gilt: [mm] det(\lambda [/mm] A) = [mm] \lambda [/mm] * det(A)

Da in [mm] $A^U_k$ [/mm] der Faktor (-1)jeweils in den k-Spalten, bzw., k-Zeilen dieser Untermatrix enthalten ist folgt:

[mm] $A^U_k [/mm] =  [mm] det(A^U_{kxk}) [/mm] = [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] det(A_{kxk}) [/mm] = [mm] (-1)^k*A_k [/mm] > 0$; $ [mm] \forall [/mm] k [mm] \varepsilon \{1,2,...,n\} [/mm] $

q.e.d

Daraus folgt schließlich insgesamt:

Die Matrix A ist negativ definit [mm] $\gdw (-1)^k*A_k [/mm] > 0 $ ; [mm] \forall [/mm] k [mm] \varepsilon \{1,2,...,n\} [/mm]

Ist das soweit richtig?

LG
Takota

Bezug
                                        
Bezug
Hurwitz-Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Mo 09.07.2018
Autor: fred97


> Das freut mich :-)
>  
> Dann versuch ich mich mal an der nächsten Äquivalenz: "-A
> positiv definit [mm]\gdw[/mm] [mm](-1)^k*A_k[/mm]"
>  
> Mit:
>  [mm]A^U:=-A[/mm];
>  
> [mm]A^U_k:=[/mm] Der k-te Hauptminor von der Matrix [mm]A^U[/mm];
>  
> [mm]A^U_{kxk}[/mm] := Die Untermatrix des k-ten Hauptminor und
>  
> [mm]A_k[/mm]:=k-te Hauptminor von der Matrix A.
>
> Da nach Voraussetzung [mm]A^U[/mm] positiv definit ist, muß jeder
> k-te Hauptminor, nach Hurwitz-Kriterium, positiv sein,
> d.h.:
>  
> [mm]A^U_k := det(A^U_{kxk})[/mm] > 0 [mm]\forall k \varepsilon \{1,2,...,n\}[/mm]
>  
> Allgemein gilt: [mm]det(\lambda[/mm] A) = [mm]\lambda[/mm] * det(A)

Nein. Ist A eine nxn - Matrix, so ist [mm] $\det( \lambda A)=\lambda^n \det(A)$ [/mm]

>  
> Da in [mm]A^U_k[/mm] der Faktor (-1)jeweils in den k-Spalten, bzw.,
> k-Zeilen dieser Untermatrix enthalten ist folgt:
>  
> [mm]A^U_k = det(A^U_{kxk}) = (-1)^k * det(A_{kxk}) = (-1)^k*A_k > 0[/mm];
> [mm]\forall k \varepsilon \{1,2,...,n\}[/mm]
>  
> q.e.d
>  
> Daraus folgt schließlich insgesamt:
>  
> Die Matrix A ist negativ definit [mm]\gdw (-1)^k*A_k > 0[/mm] ;
> [mm]\forall[/mm] k [mm]\varepsilon \{1,2,...,n\}[/mm]
>  
> Ist das soweit richtig?

Sieht gut aus.

>  
> LG
>  Takota


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