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Forum "Kombinatorik" - Huygens Problem
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Huygens Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Mi 19.05.2010
Autor: Aquilera

Aufgabe
A und B werfen abwechselnd zwei Würfel. B gewinnt, wenn die Augensumme nach seinem Wurf 6 ergibt und A nicht schon vorher gewonnen hat. A gewinnt, wenn die Augensumme nach seinem Wurf 7 ergibt und B nicht schon vorher gewonnen hat). A beginnt das Spiel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt?

Also, ich bin an die Aufgabe mittels eines Baumdiagramms rangegangen, bei dem viele Äste ja dann abbrechen, aber der eine, wo weder A noch B gewinnen, der geht unendlich weiter. Und hier gilt dann [mm] (31/36)^n [/mm] * [mm] (30/36)^n [/mm]

Da kommt aber dann auch das Problem, des zwar abbrechenden, aber unendlich langen Asts auf, den ich ja benötige um die Wskt für " A gewinnt" auszurechnen.

Ist das ne Aufgabe, wo ein konkretes Ergebnis rauskommt oder "nur" eine Formel?


        
Bezug
Huygens Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Mi 19.05.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> A und B werfen abwechselnd zwei Würfel. B gewinnt, wenn
> die Augensumme nach seinem Wurf 6 ergibt und A nicht schon
> vorher gewonnen hat. A gewinnt, wenn die Augensumme nach
> seinem Wurf 7 ergibt und B nicht schon vorher gewonnen
> hat). A beginnt das Spiel. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt?
>  Also, ich bin an die Aufgabe mittels eines Baumdiagramms
> rangegangen, bei dem viele Äste ja dann abbrechen, aber
> der eine, wo weder A noch B gewinnen, der geht unendlich
> weiter. Und hier gilt dann [mm](31/36)^n[/mm] * [mm](30/36)^n[/mm]
>
> Da kommt aber dann auch das Problem, des zwar abbrechenden,
> aber unendlich langen Asts auf, den ich ja benötige um die
> Wskt für " A gewinnt" auszurechnen.
>  
> Ist das ne Aufgabe, wo ein konkretes Ergebnis rauskommt
> oder "nur" eine Formel?


Hi Aquilera,

Es gibt ein konkretes Ergebnis. Der Zugang via Baumdiagramm
ist gut.
Dem ins Unendliche laufenden Ast "weder A noch B gewinnt" kommt
die Wahrscheinlichkeit Null zu.
Die Wahrscheinlichkeit p(A gewinnt) ergibt sich als (endliche)
Summe einer unendlichen geometrischen Reihe.


LG    Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Huygens Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Mi 19.05.2010
Autor: Aquilera

Ist das diese Reihe?

[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (31/36 * [mm] 30/36)^i [/mm] * 5/36 ?

Und wenn ja, wie bekomm ich die raus?
Mein Problem ist der Faktor 5/36.. bzw müsste ich den ja rausziehen können, oder?

Bezug
                        
Bezug
Huygens Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Mi 19.05.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Ist das diese Reihe?
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (31/36 * [mm]30/36)^i[/mm] * 5/36 ?
>  
> Und wenn ja, wie bekomm ich die raus?
>  Mein Problem ist der Faktor 5/36.. bzw müsste ich den ja
> rausziehen können, oder?


Ich denke, die Summation sollte bei i=0  beginnen und dann
bis  [mm] \infty [/mm]  laufen.

Natürlich kann man den Faktor  [mm] $\frac{5}{36}$ [/mm]  vor das Summenzeichen
setzen. Die verbleibende Summe ist dann die geometrische
Reihe mit dem Anfangssummanden 1  und dem konstanten
Quotienten  $\ q\ =\ [mm] \frac{31}{36} *\frac{30}{36}$ [/mm]

Sie ist konvergent (weshalb ?)

Die dafür zuständige Summenformel solltest du wohl kennen.


LG     Al-Chw.  


Bezug
        
Bezug
Huygens Problem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:31 Mi 19.05.2010
Autor: Aquilera


> A und B werfen abwechselnd zwei Würfel. B gewinnt, wenn
> die Augensumme nach seinem Wurf 6 ergibt und A nicht schon
> vorher gewonnen hat. A gewinnt, wenn die Augensumme nach
> seinem Wurf 7 ergibt und B nicht schon vorher gewonnen
> hat). A beginnt das Spiel. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt?
>  Also, ich bin an die Aufgabe mittels eines Baumdiagramms
> rangegangen, bei dem viele Äste ja dann abbrechen, aber
> der eine, wo weder A noch B gewinnen, der geht unendlich
> weiter. Und hier gilt dann [mm](31/36)^n[/mm] * [mm](30/36)^n[/mm]
>
> Da kommt aber dann auch das Problem, des zwar abbrechenden,
> aber unendlich langen Asts auf, den ich ja benötige um die
> Wskt für " A gewinnt" auszurechnen.
>  
> Ist das ne Aufgabe, wo ein konkretes Ergebnis rauskommt
> oder "nur" eine Formel?

Entschuldigung, es ist ein Fehler drin. Es muss heißen, B beginnt und B soll auch gewinnen!!!!

>  

Bezug
        
Bezug
Huygens Problem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:39 Mi 19.05.2010
Autor: ms2008de

Hallo,
Versteh ich das richtig, es wird die Summe der Würfe gebildet und wenn sich jmd. überworfen hat, geht die Geschichte wieder bei 0 los?

Viele Grüße

Bezug
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