Hydrodynamik Geschwindigkeiten < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Im Boden eines zylindrischen, mit Wasser gefüllten Gefäßes befindet sich eine runde Öffnung vom Durchmesser d=1cm. Der Durchmesser des Gefäßes beträgt D=50cm.
a) Gesucht ist die Geschwindigkeit, mit der der Flüssigkeitsspiegel im Gefäß absinkt, in Abhängigkeit von der Niveauhöhe h.
Hinweise: Beachten SIe, dass an der Flüssigkeitsoberfläche und an der Öffnung des Gefäßes der Atmosphärendruck gleichermaßen herrscht.
Es soll d<<D (also auch [mm] d^4 < |
Hallo zusammen,
mir fehlt es hier erstmal an einem Ansatz.
Wir hatten in der Vorlesung einen Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit eines strömenden Fluids in Form der Bernulli Gleichung hergestellt. Wird diese hier benötigt?
Ich würde konzeptionell so rangehen, dass ich betrachte, wie der Druck von der Höhe abhängt und mithilfe der Bernulli Gleichung die Brücke zu der gesuchten Geschwindigkeit, mit der der Flüssigkeitsspiegel sinkt.
Würde das so Sinn machen? Oder habe ich etwas elementares vergessen?
Wäre nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte!
Grüße
|
|
| |
|
Hallo!
Das ist genau der richtge weg.
Die Sache mit den unterschiedlich großen d's besagt nur, daß die Geschwindigkeit im Behälter weitaus langsamer ist, als die des Strahls. Sonst müßte man die ja auch noch berücksichtigen.
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort!
Jetzt versuch ich mich an der konkreten Umsetzung:
Der Druck in einem solchen Gefäß ist doch lediglich der Schweredruck, oder?
Also [mm] p=\rho_w [/mm] g h
Dieser Druck wirkt unten auf die runde Öffnung. Hier steckt doch schon die Abhängigkeit des Drucks von der Höhe drin.
Bernullis Gleichung sagt doch nun aus:
[mm] p+\frac{1}{2}\rho_w u^2=const.=p_0 [/mm]
[mm] (p_0: [/mm] Gesamtdruck, u: Strömungsgeschwindigkeit des Fluids)
Ich mache es mir sicherlich zu einfach, aber weiß nicht so recht, was falsch läuft:
Ich setze den Schweredruck p in die Bernulli Gleichung ein und erhalte:
[mm] \rho_w\cdot g\cdot h+\frac{1}{2}\rho_w\cdot u_w=p_0=const.
[/mm]
Jetzt kann ich noch ausklammern:
[mm] \rho_w(g\cdot h+\frac{1}{2}u_w)=p_0=const.
[/mm]
Wo liegt mein Fehler? Wenn ich das nach u umstellen würde, wäre die Fließgeschwindigkeit ja völlig unabhängig von der Öffnung, durch die die Flüssigkeit abfließt und das kann ja nicht sein...
Wäre dankbar für Hilfe!
Gruß
|
|
|
| |
|
Der Bezug auf [mm] D^4 [/mm] und [mm] d^4 [/mm] lässt darauf schließen, dass du die innere Reibung noch mitberücksichtigen sollst (Gesetz von Hagen-Poiseuille).
Grundsätzlich:
Wenn sich das Wasser im Behälter fast gar nicht oder mit gleichmäßiger Geschwindigkeit nach unten bewegt, behält es seine kinetische Energie bei. Machst du nun zwei Momentaufnahmen in einem kurzen zeitlichen Abstand, unterscheidet sich das Bild des Behälters vom anderen nur dadurch, dass oben eine Wasserschicht fehlt. Dieses fehlende Wasser ist nun unten ausgelaufen, hat aber die Lageenergie von oben in kin. Energie beim Auslauf verwandelt. Deshalb ist - von Reibungsverlusten abgesehen - [mm] \Delta W_{pot}=W_{kin} [/mm] oder mgh = [mm] 0.5mv^2 [/mm] oder gh = 0.5 [mm] mv^2 [/mm] unabhängig von den Öffnungsdurchmessern.
Allerdings bestimmt nun der untere Durchmesser die AuslaufMENGE pro Sekunde: Ist z.B. v = 2 m/s und die Öffnung 1 [mm] cm^2 [/mm] groß, so fließen pro Sekunde 20 dm * 0,01 [mm] dm^2 [/mm] = 0,2 Liter aus.
Schau dir noch das Gesetz von Hagen-Poiseuille an und überlege, wie dadurch die Auslaufgeschwindigkeit vermindert wird.
|
|
|
| |
|
Hi, danke für deine Hilfe!
Ok, ich weiß jetzt also über [mm] v=\sqrt{2gh} [/mm] etwas über die Ausflussgeschwindigkeit und wenn ich das ganze mit der Austrittsöffnung multipliziere, erhalte ich die Ausflussmenge pro Zeit, in abhängigkeit von der Höhe. Jetzt ist die Austrittsöffnung laut Aufgabenstellung ja rund, also müsste ich dafür sowas erhalten:
[mm] \sqrt{2gh}\cdot \pi\cdot r^2
[/mm]
Gehen wir mal davon aus, ich dürfe die Reibung vernachlässigen:
Ich möchte doch nun die Geschwindigkeit bekommen, mit der der Flüssigkeitsspiegel im Gefäß absinkt (in Abhängigkeit von der Höhe h).
Ich weiß ja, dass unten pro Sekunde die Menge [mm] \sqrt{2gh}\cdot \pi\cdot r^2 [/mm] abfließt, oder?...Vllt stehe ich gerade ein wenig auf dem Schlauch, aber wenn bis hierhin alles korrekt ist, sollte es doch nicht mehr weiter aufwendig sein, daraus die gesuchte Geschwindigkeit zu berechnen?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 So 01.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du weisst doch jetzt, wieviel wasser unten in [mm] \Delta [/mm] t wegfliesst. die Wassermenge fehlt oben! damit solltest du leicht auf [mm] v_o= \Delta h/\Delta [/mm] t kommen!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hi, danke für deine Hilfe!
>
> Ok, ich weiß jetzt also über [mm]v=\sqrt{2gh}[/mm] etwas über die
> Ausflussgeschwindigkeit und wenn ich das ganze mit der
> Austrittsöffnung multipliziere, erhalte ich die
> Ausflussmenge pro Zeit, in abhängigkeit von der Höhe.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt ist die Austrittsöffnung laut Aufgabenstellung ja
> rund, also müsste ich dafür sowas erhalten:
>
> [mm]\sqrt{2gh}\cdot \pi\cdot r^2[/mm]
>
> Gehen wir mal davon aus, ich dürfe die Reibung
> vernachlässigen:
> Ich möchte doch nun die Geschwindigkeit bekommen, mit der
> der Flüssigkeitsspiegel im Gefäß absinkt (in
> Abhängigkeit von der Höhe h).
>
> Ich weiß ja, dass unten pro Sekunde die Menge
> [mm]\sqrt{2gh}\cdot \pi\cdot r^2[/mm] abfließt, oder?
...Vllt stehe
> ich gerade ein wenig auf dem Schlauch, aber wenn bis
> hierhin alles korrekt ist, sollte es doch nicht mehr weiter
> aufwendig sein, daraus die gesuchte Geschwindigkeit zu
> berechnen?
Diese Menge fließt nun pro Zeiteinheit aus dem Gesamtgefäß ab. Weil dessen Querschnitt aber größer ist, ist die "Sinkgeschwindigkeit" dementsprechend kleiner. Die selbe Betrachtung wie für die Austrittsöffnung - angewandt auf die "Eintrittsöffnung"=Gefäßquerschnitt - , führt dich auf die Gleichung:
Ist w die Sinkgeschwindigkeit, so ist das absinkende Volumen pro Zeiteinheit [mm] w\cdot \pi\cdot R^2 [/mm] analog zu [mm]\sqrt{2gh}\cdot \pi\cdot r^2[/mm].
Da absinkendes und auslaufendes Volumen pro Zeiteinheit gleich sein müssen, gilt:
[mm] w\cdot \pi\cdot R^2 [/mm] = [mm]\sqrt{2gh}\cdot \pi\cdot r^2[/mm]
und damit
w = [mm]\sqrt{2gh}\cdot \pi\cdot (\bruch{r}{R})^2[/mm]= [mm]\sqrt{2gh}\cdot \pi\cdot (\bruch{d}{D})^2[/mm] .
|
|
|
|
