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Hyperbolische Funktionen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 So 12.04.2015
Autor: Laura22

Hallo! :)
Ich habe hier eine Umformung in meinem Skript, die ich absolut nicht verstehe...
Wir haben eine Funktion
   f(x) = [mm] c_1 e^t [/mm] - [mm] c_2 e^{-t} [/mm] mit zwei Konstanten [mm] c_1, c_2 \in \IR [/mm]
gegeben. Diese lässt sich angeblich umformen in
f(x) = a [mm] \cosh(x [/mm] - [mm] x_0) [/mm] + b [mm] \sinh(x [/mm] - [mm] x_0) [/mm] für beliebiges [mm] x_0 [/mm] und passende a,b [mm] \in \IR. [/mm]
Was ich bereits selbst herausgefunden habe: Die hyperbolischen Funktionen sind definiert durch
sinh(x) := [mm] \frac{e^x - e^{-x}}{2} [/mm]
und
cosh(x) := [mm] \frac{e^x + e^{-x}}{2}. [/mm]
Man hat zwar in der obigen Gleichung praktischerweise [mm] e^x [/mm] und e^-x stehen, aber durch die unterschiedlichen Konstanten kann ich die Gleichung irgendwie nicht so aufteilen, dass ich sinh und cosh herausbekomme.
Weiß jemand Rat? Vielen Dank auf jeden Fall schon mal !!!
Viele Grüße,
Laura

        
Bezug
Hyperbolische Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 So 12.04.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Hallo! :)
>  Ich habe hier eine Umformung in meinem Skript, die ich
> absolut nicht verstehe...
>  Wir haben eine Funktion
>     f(x) = [mm]c_1 e^t[/mm] - [mm]c_2 e^{-t}[/mm] mit zwei Konstanten [mm]c_1, c_2 \in \IR[/mm]

meinst Du vielleicht [mm] $f(\textcolor{red}{t})$? [/mm]

>  
> gegeben. Diese lässt sich angeblich umformen in
>  f(x) = a [mm]\cosh(x[/mm] - [mm]x_0)[/mm] + b [mm]\sinh(x[/mm] - [mm]x_0)[/mm] für beliebiges
> [mm]x_0[/mm] und passende a,b [mm]\in \IR.[/mm]
>  Was ich bereits selbst
> herausgefunden habe: Die hyperbolischen Funktionen sind
> definiert durch
>  sinh(x) := [mm]\frac{e^x - e^{-x}}{2}[/mm]
>  und
> cosh(x) := [mm]\frac{e^x + e^{-x}}{2}.[/mm]
>  Man hat zwar in der
> obigen Gleichung praktischerweise [mm]e^x[/mm] und e^-x stehen, aber
> durch die unterschiedlichen Konstanten kann ich die
> Gleichung irgendwie nicht so aufteilen, dass ich sinh und
> cosh herausbekomme.
>  Weiß jemand Rat? Vielen Dank auf jeden Fall schon mal
> !!!

Betrachte
[mm] $c_1e^t-c_2e^{-t}=a\cosh(t-t0)+b\sinh(t-t_0)$ [/mm]
und ersetze die hyperbolischen Funktionen durch ihre Darstalleung mit Exponentialfunktionen. Dann kannst Du die Konstanten durch einen Koeffizientenvergleich so bestimmen, dass beide Seiten übereinstimmen.

>  Viele Grüße,
>  Laura

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Hyperbolische Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:52 So 12.04.2015
Autor: Laura22

Hatte mich vertan, da musste f(x) = [mm] c_1e^x [/mm] - [mm] c_2e^{-x} [/mm] stehen. :)

Oh ja, stimmt!!! Also ich habe jetzt

[mm] c_1 [/mm] = 1/2 [mm] e^x(a [/mm] + b) und [mm] c_2 [/mm] =1/2 [mm] e^{-x}(b [/mm] - a)  raus.

Danke sehr, das war ein guter Hinweis!

Viele Grüße,
Laura

Bezug
                        
Bezug
Hyperbolische Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:26 So 12.04.2015
Autor: notinX


> Hatte mich vertan, da musste f(x) = [mm]c_1e^x[/mm] - [mm]c_2e^{-x}[/mm]
> stehen. :)
>  
> Oh ja, stimmt!!! Also ich habe jetzt
>  
> [mm]c_1[/mm] = 1/2 [mm]e^x(a[/mm] + b) und [mm]c_2[/mm] =1/2 [mm]e^{-x}(b[/mm] - a)  raus.

In Deinen "Konstanten" kommt die Variable vor. Das sollte nicht so sein.

>  
> Danke sehr, das war ein guter Hinweis!
>  
> Viele Grüße,
>  Laura

Gruß,

notinX

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