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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:56 So 03.08.2008 | | Autor: | InoX |
| Aufgabe 1 | | Was weiß man über hyperbolische Kreise? Sei [mm] r\in (0,1) [/mm]. Sei K der hyperbolische Kreis um i mit Radius r (Halbebenenmodell). Finden Sie den Mittelpunkt des herkömmlichen Kreises K. |
| Aufgabe 2 | | Finden Sie eine Möbiustransformation f mit f(H)=E, f(1+i)=0 und f(2i) auf der x-Achse. |
| Aufgabe 3 | | Sei L eine hyperbolische Gerade. Welche Transformationen f der hyperbolischen Ebene erfüllen f(L)=L? Hinweis: Fangen Sie mit L= die y-Achse im Halbebenenmodell an |
Wichtig! ich schreib die Klausur übermorgen, das sind die letzten Fragen die ich nicht selbst rausfinden konnte bin für jede Hilfe dankbar. Meine gedanken dazu und alle wichtigen definitionen kommen jetzt.
Aber die Grundlagen setze ich voraus
[mm] H=\{z\in\IC| Im(z)>0\} [/mm] Halbebenenmodell
Hyperbolische Geraden sind Geraden die die x-Achse zzgl. [mm] \infty [/mm]
ortogonal schneiden, d.h. Kreise mit Mittelpunkt auf x-Achse und Geraden
parallel zur y-Achse.
[mm] E=\{z\in\IC| |z|<1\} [/mm] Scheibenmodell
Hyperbolische Geraden sind hier gewöhnliche Kreise und Geraden die den Rand des Einheitskreises orthogonal schneiden.
Anm. Beide Modelle sind gleichwertig !
Aufgabe 1.
Was weiß man über Hyperbolische Kreise?
Naja nen hyperbolischer Kreis was ist das erstmal.
der hyperbolische Abstand wird ja übers Doppelverhältnis eingeführt.
[mm] z_1,z_2,z_3,z_4\in\IC\cup\{\infty\} [/mm] paarweise verschieden,
[mm] [z_1,z_2;z_3,z_4] =\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}\in \IC [/mm]
Eine hyperbolische Gerade ist durch die Angabe zweier paarweise verschiedener Punkte P, Q eindeutig
bestimmt.
Also kann man einen Abstand einführen.
[mm] d(Q,P)= [schnittpunkt 1 x-Achse,P;Q, schnittpunkt 2 x-Achse] [/mm]
Ein hyperbolischer Kreis um Q ist nun die Menge
[mm] \{P\in H oder E|d(P,Q)=r\} [/mm]
Es ist mir bekannt, dass solche Kreise immer herkömmliche Kreise in der euklidischen geometrie der Ebene sind.
Doch wie bestimme ich die anhand dieser Kreise ?
zu Aufgabe 2
Ich kenne die Möbiustransformation mit der Eigenschaft f(E)=H,
diese lautet:
[mm] f_0(z)=\frac{1+iz}{1-iz} [/mm]
doch sie erfüllt leider die anderen Eigenschaften nicht ...
wie gehe ich jetzt vor? oder welche Möbiustransforamtionen erfüllen das noch und wie sieht mans ?
Aufgabe 3
die Gruppe der Möbiustransformation ist ja bekanntlich isomorph zu einer [mm] PSL_2(\IR) [/mm] und [mm] PGL_2(\IR) [/mm]
Dabei ist
[mm]PSL_2(k)=SL_2(k)[/mm]Diagonalmatrizen mit Einträgen aus k
Bei [mm]PGL_2(k)[/mm] einfach SL durch GL ersetzen.
Das heißt einfach nur das die Möbiustransforamtionen gegeben sind durch [mm] f(z)=\frac{az+b}{cz+d} [/mm] mit [mm] a,b,c,d\in\IR [/mm] ! und [mm] ad-cb\not=0 [/mm]
Dann gibts den Satz das die durch 3 Punkte eindeutig bestimmt sind und Kreise also Geraden durch unendlich und gewöhnliche Kreise, die durch 3 Punkte eindeutig definiert sind, auf Kreise abbilden.
Für die y-Achse erhalte ich somit durch einfaches lösen der Gleichungssysteme und Anwenden der Sätze, dass [mm] f(z)=z [/mm] und ebenso für den allgemeinen Fall. Die aufgabe kam mir aber sehr leicht vor, kann es vielleicht sein, dass ich zu viel vorausgesetzt hab?
Danke und hoffe auf eine schnelle Antwort bei unklaheiten liefer ich die Definitionen nach :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Mi 06.08.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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