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Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Eine Hyperebene H in V ist ein (n-1)-dimensionaler affiner Unterraum von V.
a) Zeigen Sie: Eine Teilmenge A [mm] \subset K^n [/mm] ist eine Hyperebene genau dann, wenn es einen von Null verschiedenen Vektor [mm] \Phi [/mm] im Vektorraum [mm] Hom_K [/mm] (V,K) und ein c [mm] \in [/mm] K gibt, so dass A = { x [mm] \in K^n [/mm] l [mm] \Phi(x) [/mm] = c } gilt.
b) Betrachten Sie nun den Fall K = [mm] \IR [/mm] und V = [mm] \IR^n, [/mm] versehen mit dem Standard-Skalarprodukt <v,w> = [mm] \summe_{i=1}^{n} v_i w_i.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Abbildung
[mm] \IR^n \to Hom_\IR (\IR^n,\IR)
[/mm]
v [mm] \mapsto \phi_v
[/mm]
Mit [mm] \phi_v [/mm] (w) = <v,w> ein Isomorphismus von reellen Vektorräumen ist.
c) Schließen Sie nun, dass sich jede Hyperebene in [mm] \IR^n [/mm] in der Form A = { x [mm] \in \IR^n [/mm] l <v,x> = c } mit geeignetem c [mm] \in \IR [/mm] und v [mm] \in \IR^n, [/mm] v [mm] \not= [/mm] 0 schreiben lässt. (Dies ist die sogenannte Hessesche Normalform einer Hyperebene im [mm] \IR^3.)
[/mm]
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Hallo!
zu a)
Also da da genau dann steht, muss ich wohl beide Richtungen zeigen.
Zu Hin:
hier weiß cih einfach nicht wie ich anfangen soll. Ich weiß, Homomorphismus heißt, es gilt [mm] \phi [/mm] (a) + [mm] \phi(b) [/mm] = [mm] \phi [/mm] (a+b) und [mm] \phi(\lambda [/mm] cdot a) = [mm] \lambda [/mm] cdot [mm] \phi [/mm] (a).
Zu Zurück:
also A ist eine Hyperebene des [mm] K^n, [/mm] wenn gilt, dass A ein affiner (n-1)-dimensionaler Unterraum von [mm] K^n [/mm] ist,
Zum untervektorraum müsste man ja jetzt eigentlich einfach die Untervektorraumaxiome durchgehen können. Nur wie?
Und dann habe ich mir überlegt es muss eig gelten das ein x [mm] \in K^n [/mm] und ein Untervektorraum W [mm] \subset K^n [/mm] der Dimension (n-1), so dass A = x + W existiert. Nur wie kann ich jetzt zeigen, dass dies existiert?
zu b)
Hier soll ich zeigen, dass die Abbildung ein Isomorphismus von reellen Vektorräumen ist.
Also das ein bijektiver Homomorphismus vorliegt.
Homomorphismus:
(Ich nenne die Abbildung von v nach [mm] \phi_v [/mm] f)
f (v) = [mm] \phi_v [/mm] (w) = <v,w>
f (v + u) = [mm] \phi_{v+u} [/mm] (w)
= <v+u,w>
= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (v+w)w
= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] vw + [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] uw
= <v,w> + <u,w>
= [mm] \phi_v [/mm] (w) + [mm] \phi_v{w}
[/mm]
=f(w) + f(u)
f (v cdot u) = [mm] \phi_{v cdot u} [/mm] (w)
= <v cdot u, w>
= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (v cdot u) w
= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] v cdot w cdot [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] u cdot w
= <v,w> cdot <u,w>
= [mm] \phi_v [/mm] (w) cdot [mm] \phi_u [/mm] (w)
= f(v) cdot f(u)
[mm] f(\lambda [/mm] cdot v) = [mm] \phi_{\lambda cdot v} [/mm] (w)
= [mm] <\lambda [/mm] cdot v, w>
= [mm] \lamda [/mm] <v,w>
= [mm] \lambda \phi_v [/mm] (w)
[mm] \lambda [/mm] ccdot f(v)
damit hätte ich den Homomorphismus gezeigt. aber wie zeige ich jetzt die Bijektivität? Ich habe bisher nur Injektivität bewiesen und diese dann indirekt bewiesen. Aber ich glaube, dass ging nur, wenn die Abbildung nicht auch surjektiv war.
zu c) habe ich bisher noch keine Erkenntnisse, aber ich weiß, was die Hessesche Normalform ist, allerdings nur aus der Schule.
Vielen Dank schonmal im Vorraus! Tipps wären auch schön!
LG Wiebke
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> Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum.
> Eine Hyperebene H in V ist ein (n-1)-dimensionaler affiner
> Unterraum von V.
>
> a) Zeigen Sie: Eine Teilmenge A [mm]\subset K^n[/mm] ist eine
> Hyperebene genau dann, wenn es einen von Null verschiedenen
> Vektor [mm]\Phi[/mm] im Vektorraum [mm]Hom_K[/mm] [mm] K^n,K) [/mm] und ein c [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K gibt,
> so dass A = { x [mm]\in K^n[/mm] l [mm]\Phi(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= c } gilt.
> zu a)
> Also da da genau dann steht, muss ich wohl beide
> Richtungen zeigen.
Hallo,
ja, das mußt Du, und es wäre an dieser Stelle recht sinnvoll, sich die beiden zu zeigenden Aussagen mal hinzuschreiben. (Nicht zuletzt hätte ich mir dann das Grübeln darüber, was bei Dir hin und was rück ist sparen können - ein angenehmer Nebeneffekt.)
> Zu Hin:
> hier weiß cih einfach nicht wie ich anfangen soll. Ich
> weiß, Homomorphismus heißt, es gilt [mm]\phi[/mm] (a) + [mm]\phi(b)[/mm] =
> [mm]\phi[/mm] (a+b) und [mm]\phi(\lambda[/mm] cdot a) = [mm]\lambda[/mm] cdot [mm]\phi[/mm]
> (a).
Ich hoffe, daß Du noch etwas mehr über Homomorphismen weißt...
Gegeben hast Du also ein affine Hyperebene A.
Überlege Dir, daß es linear unabhängige [mm] v_i\in K^n, [/mm] i=1,2,...,n, gibt mit
i) [mm] A= [/mm] oder ii) [mm] A=v_n +.
[/mm]
Nun definiere Dir kurzerhand einen passenden Homomorphismus. Bedenke, daß Homomorphismen durch die Angabe der Werte auf eine Basis eindeutig bestimmt sind.
>
> Zu Zurück:
> also A ist eine Hyperebene des [mm]K^n,[/mm] wenn gilt, dass A ein
> affiner (n-1)-dimensionaler Unterraum von [mm]K^n[/mm] ist,
> Zum untervektorraum müsste man ja jetzt eigentlich einfach
> die Untervektorraumaxiome durchgehen können. Nur wie?
> Und dann habe ich mir überlegt es muss eig gelten das ein
> x [mm]\in K^n[/mm] und ein Untervektorraum W [mm]\subset K^n[/mm] der
> Dimension (n-1), so dass A = x + W existiert. Nur wie kann
> ich jetzt zeigen, dass dies existiert?
Du hast hier also eine von Null verschiedene Linerform [mm] \Phi: K^n \to [/mm] K und ein [mm] c\in [/mm] K,
und Du betrachtest die Menge [mm] A:=\{x\in K^n| \Phi(x)=c\}.
[/mm]
Von dieser Menge willst Du zeigen, daß es sich dabei um eine affine Hyperebene des [mm] K^n [/mm] handelt.
Zunächst einmal überlege Dir, daß A nichtleer ist.
Überlege Dir dann, welche Dimension der Kern von [mm] \Phi [/mm] hat,
und was A mit dem Kern von [mm] \Phi [/mm] zu tun hat.
Gruß v. Angela
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> Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum.
> Eine Hyperebene H in V ist ein (n-1)-dimensionaler affiner
> Unterraum von V.
>
> a) Zeigen Sie: Eine Teilmenge A [mm]\subset K^n[/mm] ist eine
> Hyperebene genau dann, wenn es einen von Null verschiedenen
> Vektor [mm]\Phi[/mm] im Vektorraum [mm]Hom_K[/mm] (V,K) und ein c [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K gibt,
> so dass A = { x [mm]\in K^n[/mm] l [mm]\Phi(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= c } gilt.
>
> b) Betrachten Sie nun den Fall K = [mm]\IR[/mm] und V = [mm]\IR^n,[/mm]
> versehen mit dem Standard-Skalarprodukt <v,w> =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} v_i w_i.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Abbildung
> [mm]\IR^n \to Hom_\IR (\IR^n,\IR)[/mm]
> v [mm]\mapsto \phi_v[/mm]
> Mit [mm]\phi_v[/mm]
> (w) = <v,w> ein Isomorphismus von reellen Vektorräumen
> ist.
> zu b)
> Hier soll ich zeigen, dass die Abbildung ein Isomorphismus
> von reellen Vektorräumen ist.
> Also das ein bijektiver Homomorphismus vorliegt.
Ja.
Ich bitte Dich, Deinen Artikel zu überarbeiten und in einen lesbaren Zustand zu versetzen, das betrifft die Rechenzeichen und die fehlenden Indizes in den Summationen.
Am besten arbeitest Du meine Hinweise danngleich ein, danach können wir weitersehen.
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du die Abbildung, welche Du f nennst, richtig verstanden hast:
Sie ordnet jedem n-Tupel des [mm] \IR^n [/mm] eine Linearform zu, nicht etwa eine reelle Zahl.
Dies hier ist falsch:
> (Ich nenne die Abbildung von v nach [mm]\phi_v[/mm] f)
> f (v) = [mm]\phi_v[/mm] (w) = <v,w>
Es ist [mm] f:\IR^n \to Hom_\IR (\IR^n,\IR) [/mm] def. durch
[mm] f(v):=\Phi_v [/mm] mit [mm] \Phi_v(w):=
[/mm]
Also ist [mm] f(v)(w)=\Phi_v(w)=, [/mm] und nicht etwa so, wie Du oben schreibst.
> f (v + u) = [mm]\phi_{v+u}[/mm] (w)
> = <v+u,w>
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (v+w)w
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] vw + [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] uw
> = <v,w> + <u,w>
> = [mm]\phi_v[/mm] (w) + [mm]\phi_v{w}[/mm]
> =f(w) + f(u)
>
> f (v cdot u) = [mm]\phi_{v cdot u}[/mm] (w)
> = <v cdot u, w>
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (v cdot u) w
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] v cdot w cdot [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] u cdot
> w
> = <v,w> cdot <u,w>
> = [mm]\phi_v[/mm] (w) cdot [mm]\phi_u[/mm] (w)
> = f(v) cdot f(u)
>
> [mm]f(\lambda[/mm] cdot v) = [mm]\phi_{\lambda cdot v}[/mm] (w)
> = [mm]<\lambda[/mm] cdot v, w>
> = [mm]\lamda[/mm] <v,w>
> = [mm]\lambda \phi_v[/mm] (w)
> [mm]\lambda[/mm] ccdot f(v)
>
> damit hätte ich den Homomorphismus gezeigt. aber wie zeige
> ich jetzt die Bijektivität? Ich habe bisher nur
> Injektivität bewiesen
Wo denn?
> und diese dann indirekt bewiesen.
> Aber ich glaube, dass ging nur, wenn die Abbildung nicht
> auch surjektiv war.
???.
Injektivität zu zeigen, ist ja eine gute Idee. (Stichwort: Kern der Abbildung)
Welche Dimension hat [mm] Hom_\IR (\IR^n,\IR)?
[/mm]
Damit bist Du dann fertig.
Für c) müssen die Erkenntnisse aus a) und b) dann zusammengeführt werden.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Sa 19.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi, ich mische mich mal kurz ein und zwar hab ich ein Problem bei a ich schreib mal kurz auf wie weit ich bin:
Hinrichtung:
Homomorphismen sind lineare Abbildungen und somit ist lauf Vorlesung, das Urbild [mm]\phi^{-1}(x)[/mm] entweder leer oder ein affiner Unterraum und es gilt [mm]\phi^{-1}= a+ ker\phi[/mm]
1. er kann nicht leer sein, da [mm]\phi[/mm] nicht leer ist, somit ist mindestens ein Vektor in der Standardbasis vorhanden. Daraus folgt das es ein affiner Unterraum ist:
2. Der affine Unterraum muss die Dimension des Kerns haben.
[mm]dim ker \phi = n-rg\phi = n-1[/mm]
So hier ist meine erste Frage warum ist der Rang von Phi gleich 1, also es passt wenn er es wäre, aber ist er das auch?
Rückrichtung:
Ein affiner Unterraum ist:
[mm]A= v +U[/mm] sei dieser nun n-1 dimensional.
Dann ex. mindestens eine Basis [mm]\{w_1,...w_{n-1}\} \in U[/mm] diese kann ich ergänzen, dann hab ich eine von V [mm]\{w_1,...w_n\} [/mm]
Dann setze ich (darf ich das hier so einfach?):
[mm]\phi(w_i)= 0[/mm] für [mm]i \le n-1[/mm]
[mm]\phi(w_n)=1[/mm]
[mm]c= \phi(v)[/mm]
Nach der Definition des affinen Unterraums:
[mm]\phi(v+u)= \phi(v)+ \phi(u)=...[/mm]
Ja und hier weiss ich nicht weiter, also ich hätte gerne c, weil [mm]u\in U[/mm] ist somit wäre dann ja auch [mm]A \subseteq \phi^{-1} (c)[/mm] und das hatte ja nach der Hinrichtung die Dimension n-1.
Grüße,
Marie
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> Hinrichtung:
> So hier ist meine erste
> Frage warum ist der Rang von Phi gleich 1, also es passt
> wenn er es wäre, aber ist er das auch?
Hallo,
[mm] \phi [/mm] ist nach Voraussetzung nicht die Nullabbildung. Also gibt es ein v, welches nicht auf die Null abgebildet wird. Damit ist die Dimension des Bildes mindestens =1. Nun überlege Dir, ob die Dimension des Bildes überhaupt größer als 1 sein kann. Schau Dir dazu die Dimension des Raumes an, in welchen abgebildet wird.
>
> Rückrichtung:
> Ein affiner Unterraum ist:
> [mm]A= v +U[/mm] sei dieser nun n-1 dimensional.
> Dann ex. mindestens eine Basis [mm]\{w_1,...w_{n-1}\} \in U[/mm]
> diese kann ich ergänzen, dann hab ich eine von V
> [mm]\{w_1,...w_n\}[/mm]
> Dann setze ich (darf ich das hier so einfach?):
> [mm]\phi(w_i)= 0[/mm] für [mm]i \le n-1[/mm]
> [mm]\phi(w_n)=1[/mm]
Bis hierher ist es in Ordnung, das darfst Du tun, denn Du definierst hier nach Lust und Laune einen Homomorphismus.
> [mm]c= \phi(v)[/mm]
Das hier geht allerdings nicht. Den Wert für v kannst Du nicht frei wählen, denn v ist ja eine Linearkombination [mm] \{w_1,...w_n\}.
[/mm]
Aber Du bist dicht dran...
Ich hatte ja den Hinweis gegeben, den Fall zu untersuchen, daß A=U und A=v+U mit [mm] v\not=0 [/mm] und [mm] v\not\in [/mm] U.
Der erste ist sehr unproblematisch, hier tut's Deine frisch definerte Abbildung, das c darfst Du Dir ja passend aussuchen.
Und wenn Du den zweiten Fall hast, nimm als Basis halt [mm] \{w_1,...w_{n-1}, v} [/mm] und definier Dir das passend zurecht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 20.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
also zu a:
Hinrichtung:
Das ganze bildet nach K ab, und K hat die Dimension eins.
Rückrichtung:
Setze [mm]\phi^{-1}(c)=A[/mm]
Dann folgt:
[mm]\phi(c+u)=\phi(c)+\phi(u)[/mm]
wobei u element U ist.
zu b hab ich dann:
v ist bilinear also:
[mm]v\times (w+a)= v\times w+v\times a[/mm]
[mm](v+w)\times a = v\times a + w\times a[/mm]
Da es bilinear ist, ist es auch linear und ein Homomorphismus.
v ist bijektiv:
v ist injektiv: Dann müsste v=0 sein, das ist der Fall wenn <v,w>=0, aber nur wenn [mm]w\in V[/mm]ist.
Aber ist das hier nicht von der "falschen" Seite argumentiert?
Die Vektorräume haben die gleiche Dimension ist v auch surjektiv, also bijektiv.
Fehlt nur noch das [mm]\phi^{-1}[/mm] ein Homomorphismus ist, aber da weiss ich nicht wirklich wie.
zu c)
Das würde ja der Fall sein, wenn [mm]\phi(\cdot)=[/mm] für [mm]v \in \IR^n[/mm] gilt, aber wo bekomm ich das her?
Grüße,
Marie
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> Hi,
> also zu a:
> Hinrichtung:
> Das ganze bildet nach K ab, und K hat die Dimension eins.
>
> Rückrichtung:
> Setze [mm]\phi^{-1}(c)=A[/mm]
> Dann folgt:
> [mm]\phi(c+u)=\phi(c)+\phi(u)[/mm]
> wobei u element U ist.
Hallo,
beides sind sicher richtige Gedanken.
Darüber, ob Dein Beweis richtig ist, kann und werde ich nichts sagen, dafür sehe ich einfach zu wenig.
>
> zu b hab ich dann:
> v ist bilinear also:
[mm] v\in \IR^n, [/mm] also ein Spaltenvektor. Der kann sicher nicht bilinear sein. Und auch nicht bijektiv.
Ich hatte weiter oben in einem Post ein bißchen etwas zu der zu betrachtenden Abbildung geschrieben.
Gruß v. Angela
> [mm]v\times (w+a)= v\times w+v\times a[/mm]
> [mm](v+w)\times a = v\times a + w\times a[/mm]
>
> Da es bilinear ist, ist es auch linear und ein
> Homomorphismus.
>
> v ist bijektiv:
> v ist injektiv: Dann müsste v=0 sein, das ist der Fall
> wenn <v,w>=0, aber nur wenn [mm]w\in V[/mm]ist.
> Aber ist das hier
> nicht von der "falschen" Seite argumentiert?
> Die Vektorräume haben die gleiche Dimension ist v auch
> surjektiv, also bijektiv.
>
> Fehlt nur noch das [mm]\phi^{-1}[/mm] ein Homomorphismus ist, aber
> da weiss ich nicht wirklich wie.
>
> zu c)
> Das würde ja der Fall sein, wenn [mm]\phi(\cdot)=[/mm] für
> [mm]v \in \IR^n[/mm] gilt, aber wo bekomm ich das her?
>
> Grüße,
> Marie
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