Hypotenusenabschnitte? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 So 05.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
die Frage ist mir fast schon peinlich... Ich habe alle drei Seitenlängen eines nicht-rechtwinkligen Dreiecks - wie bekomme ich hieraus die Hypotenusenabschnitte bzw. direkt die Höhe? Habe mittlerweile sämtliche Formelsammlungen durch, selbst Google findet zu "Hypotenusenfußpunkt" usw. stets nur die bekannte formel pq=h²...
Vermute, hier gilt es irgendwelche Pythagorassätze zu verschachteln?
Vielen Dank
Oli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 So 05.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo oli!
Es handelt sich um ein nicht-rechtwinkliges Dreieck? Dann wird die Suche nach Hypotenusen oder Hypotenusenabschnitte keinen Erfolg bringen, da es nur in rechtwinkligen Dreiecken eine Hypotenuse gibt.
Ansonsten: aus den 3 gegebenen Seiten kannst Du den Flächeninhalt des Dreieckes berechnen (![[]](/images/popup.gif) Formel des Heron) und daraus dann die gesuchte Höhe.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 So 05.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo oli!
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> Es handelt sich um ein nicht-rechtwinkliges Dreieck? Dann
> wird die Suche nach Hypotenusen oder Hypotenusenabschnitte
> keinen Erfolg bringen, da es nur in rechtwinkligen
> Dreiecken eine Hypotenuse gibt.
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> Ansonsten: aus den 3 gegebenen Seiten kannst Du den
> Flächeninhalt des Dreieckes berechnen
> (Formel des Heron)
> und daraus dann die gesuchte Höhe.
Die Heron-Formel ist ein Spezialwissen, das in der Schule allgemein wohl nicht flächendeckend vermittelt wird.
Für Schüler wäre es das normale Vorgehen, aus drei Seitenlängen mit dem Kosinussatz einen der drei Innenwinkel (z.B. [mm] \alpha) [/mm] zu bestimmen.
Für die Höhe [mm] h_a [/mm] gilt dann [mm] h_a=b*sin \alpha, [/mm] und der Abschnitt von A bis zum Höhenfußpunkt von [mm] h_a [/mm] kann mit b*cos [mm] \alpha [/mm] berechnet werden.
Gruß Abakus
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> Gruß
> Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 05.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Hallo Loddar,
die Musterlösung nennt folgende Formel für den Abstand von der Ecke C zur Höhe auf der Seite (ja, Hypotenuse war blöd/falsch ausgedrückt) a:
[mm] x=\bruch{a^2+b^2-c^2}{2a}
[/mm]
Basiert diese dann auf der Formel von Heron? Habe die Formel in dieser Form nämlich nirgendwo finden können, und immer erst Herleiten kostet in der Klausur nur Zeit...
Oh man, Geometrie war noch nie so mein Spezialgebiet, aber im Vermessungswesen holt einen alles wieder ein...
Danke!
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> Hallo Loddar,
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> die Musterlösung nennt folgende Formel für den Abstand
> von der Ecke C zur Höhe auf der Seite (ja, Hypotenuse war
> blöd/falsch ausgedrückt) a:
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> [mm]x=\bruch{a^2+b^2-c^2}{2a}[/mm]
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> Basiert diese dann auf der Formel von Heron? Habe die
> Formel in dieser Form nämlich nirgendwo finden können,
> und immer erst Herleiten kostet in der Klausur nur Zeit...
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> Oh man, Geometrie war noch nie so mein Spezialgebiet, aber
> im Vermessungswesen holt einen alles wieder ein...
>
> Danke!
Hallo Oli,
der Begriff "Hypotenuse" heisst eigentlich einfach etwa so
viel wie "Grundlinie" und könnte grundsätzlich auch für
nicht-rechtwinklige Dreiecke verwendet werden. Es hat sich
aber sehr eingebürgert, "Hypotenuse" nur für die dem rechten
Winkel gegenüber liegende (und damit auch längste) Seite
eines rechtwinkligen Dreiecks zu verwenden.
Im rechtwinkligen Dreieck ACF mit Hypotenuse AC und dem
rechten Winkel bei F (F= Fusspunkt der Höhe [mm] h_a) [/mm] erkennt man,
dass
$\ x\ =\ [mm] \left|\overline{FC}\right|\ [/mm] =\ [mm] b*cos(\gamma)$
[/mm]
Wenn man nun den Cosinussatz im Dreieck ABC für den Winkel
[mm] \gamma [/mm] benützt und die beiden Formeln miteinander verbindet, kommt
man auf die gewünschte Gleichung für $x$.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 So 05.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Das war's, danke!
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