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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Mr.PiM |
| Aufgabe | Ein Spieler behauptet, seine Geschicklicheit sei so groß, dass seine Chance, einen Pasch zu erzielen und damit zu gewinnen, bei 30% liegen (H1). Seine Freunde beschließen:
Gewinnt er von 50 Testspielen mindestens 10, so wollen sie ihm glauben.
a) Welche Fehler können durch die Anwendung der Regel auftreten und wie groß sind die Fehlerwahrscheinlichkeiten?
b) Die Entscheidungsregel wird geändert: Dem Spieler wird eine angebliche Geschicklichkeit nur geglaubt, wenn er in 100 Spielen mindestens 20 Erfolge verbuchen kann. Welche Auswirkungen hat diese Regeländerung auf die Fehlerwahrscheinlichkeiten? Ist der Gesamtfehler, d.h. die Summe von Alpha- Fehler und Beta- Fehler, gegenüber Aufgabenteil a kleiner geworden? |
Hi!
Wie ihr schon gemerkt habt, gehts hier um Hypothesen etc...
zu a)
Es sind 2 Fehler möglich.
Fehler 1: Die Aussage vom Spieler ist wahr, sie wird aber abgelehnt.
Fehler 2: Die Aussage vom Spieler ist falsch, sie wird aber angenommen.
gegenebn ist ja:
n= 50
k mindestens 10
p= 30% also 0.3
zum 1. Fehler: "Mindestens 10 Treffer" bedeutet ja "10 oder mehr Treffer". Hier kommt mein Taschenrechner auf rund 96%, aber das kann doch nicht sein! Wenn die Hypothese wahr ist, dann kann die Wahrscheinlichkeit doch nicht so hoch sein, dass sie abgelehnt wird, oder?
zum 2. Fehler: "Mindestes 10 Treffer" bedeutet hier doch im Umkehrschluss: "höchstens 9 Treffer". Im Taschenrechner komme ich somit auf 4% (die Hypothese ist falsch, wird aber mit 4%iger Wahrscheinlichkeit trotzdem angenommen)
Sind meine Schlussfolgerungen richtig oder habe ich dieses ganze Hypothesenzeug falsch verstanden? Muss ich überall die 30% verwenden oder beim Fehler 2. Art doch nicht 70%?
Bitte eure Meinung bis hierher - erst dann würde ich mich an Aufgabe b versuchen.
Schonmal Danke!
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 So 14.11.2010 | | Autor: | Mr.PiM |
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben? :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 So 14.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Mr.Pim
> Ein Spieler behauptet, seine Geschicklicheit sei so groß,
> dass seine Chance, einen Pasch zu erzielen und damit zu
> gewinnen, bei 30% liegen (H1). Seine Freunde beschließen:
> Gewinnt er von 50 Testspielen mindestens 10, so wollen sie
> ihm glauben.
> a) Welche Fehler können durch die Anwendung der Regel
> auftreten und wie groß sind die
> Fehlerwahrscheinlichkeiten?
> b) Die Entscheidungsregel wird geändert: Dem Spieler wird
> eine angebliche Geschicklichkeit nur geglaubt, wenn er in
> 100 Spielen mindestens 20 Erfolge verbuchen kann. Welche
> Auswirkungen hat diese Regeländerung auf die
> Fehlerwahrscheinlichkeiten? Ist der Gesamtfehler, d.h. die
> Summe von Alpha- Fehler und Beta- Fehler, gegenüber
> Aufgabenteil a kleiner geworden?
> Hi!
> Wie ihr schon gemerkt habt, gehts hier um Hypothesen
> etc...
>
> zu a)
> Es sind 2 Fehler möglich.
> Fehler 1: Die Aussage vom Spieler ist wahr, sie wird aber
> abgelehnt.
> Fehler 2: Die Aussage vom Spieler ist falsch, sie wird
> aber angenommen.
>
> gegenebn ist ja:
> n= 50
> k mindestens 10
> p= 30% also 0.3
> zum 1. Fehler: "Mindestens 10 Treffer" bedeutet ja "10
> oder mehr Treffer". Hier kommt mein Taschenrechner auf rund
> 96%, aber das kann doch nicht sein! Wenn die Hypothese wahr
> ist, dann kann die Wahrscheinlichkeit doch nicht so hoch
> sein, dass sie abgelehnt wird, oder?
die Aufgabe ist meiner Meinung nach leider etwas schwammig gestellt, so dass du von der falschen Hypothese ausgegangen bist (dein Ablehnungsbereich [mm] X\ge10 [/mm] steht für die Hypothese [mm] H:p\le0,3).
[/mm]
Ich nehme an, der Spieler behauptet nicht, dass seine Gewinnw'keit genau 30% beträgt, sondern mindestens 30% ist (also ein einseitiger Test). Ansonsten müsste die Entscheidungsregel für einen zweiseitigen Test formuliert sein (Ablehnung bei zuwenigen, aber auch zuvielen gewonnen Spielen). Jetzt kommt dazu, dass nicht klar gesagt wird ob die Freunde [mm] H:p\ge0,3 [/mm] oder [mm] H':p\le0,3 [/mm] testen wollen. Der Unterschied liegt darin, ob sie ihm generell glauben und nur dann als Schwindler ansehen, falls einiges gegen ihn spricht (dann H) oder ob sie ihm generell misstrauen und ihm nur glauben, wenn vieles für ihn spricht (dann H'). Die Art, wie die Entscheidungsregel formuliert ist, gibt einen Hinweis, welchen Standpunkt die Freunde annehmen: Da bei 30% Erfolgsw'keit 15 Gewinne zu erwarten sind, sie ihren Freund aber schon mit 10 "durchlassen", werden sie ihm nur dann nicht glauben, wenn er "verdächtig" (Fachbegriff:signifikant) wenige Gewinne erzielt. Der Ablehnungsbereich ist also linksseitig, die Hypothese [mm] H:p\ge0,3 [/mm] und wenn X:Anzahl gewonnener Spiele ist, ist der Fehler 1.Art ,die W'keit, dass die Freunde im nicht glauben, obwohl er ein Paschkünstler ist: [mm] P_{0,3}(X\le9)\approx0,04.
[/mm]
Nächstes Problem:Der Fehler 2.Art (die W'keit,dass seine Freunde ihm glauben,obwohl seine Paschfertigkeiten unter 0,3 liegen) hängt davon ab, wie denn nun seine Erfolgsw'keit eigentlich in Wirklichkeit ist. Denn je schlechter er ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass das Ergebnis nach "Annahme" der Nullhypothese ausfällt.
Falls sie tatsächlich genau p=0,3 ist, kann quasi kein Fehler 2.Art gemacht werden, da die Hypothese ja wahr ist und nicht falsch. Ist p nahe bei 0,3 aber darunter, zb 0,2999 ist die W'keit für einen Fehler 2.Art tatsächlich derart gross (quasi [mm] 1-\alpha [/mm] Fehler.)
Bei einer tatsächlichen Erfolgsw'keit von nur
p=0,25 ist [mm] P_{0,25}(X\ge10)=1-P_{0,25}(X\le9)\approx1-0,1637=0,8323
[/mm]
bei p=0,1 ist [mm] P_{0,1}(X\ge10)=1-P_{0,1}(X\le9)\approx1-0,9755=0,0245
[/mm]
Ich hoffe, das hat etwas geholfen.
Lg walde
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Hi, Mr.PiM,
> Ein Spieler behauptet, seine Geschicklicheit sei so groß,
> dass seine Chance, einen Pasch zu erzielen und damit zu
> gewinnen, bei 30% liegen (H1). Seine Freunde beschließen:
> Gewinnt er von 50 Testspielen mindestens 10, so wollen sie
> ihm glauben.
> a) Welche Fehler können durch die Anwendung der Regel
> auftreten und wie groß sind die
> Fehlerwahrscheinlichkeiten?
> b) Die Entscheidungsregel wird geändert: Dem Spieler wird
> eine angebliche Geschicklichkeit nur geglaubt, wenn er in
> 100 Spielen mindestens 20 Erfolge verbuchen kann. Welche
> Auswirkungen hat diese Regeländerung auf die
> Fehlerwahrscheinlichkeiten? Ist der Gesamtfehler, d.h. die
> Summe von Alpha- Fehler und Beta- Fehler, gegenüber
> Aufgabenteil a kleiner geworden?
> Hi!
> Wie ihr schon gemerkt habt, gehts hier um Hypothesen
> etc...
>
> zu a)
> Es sind 2 Fehler möglich.
> Fehler 1: Die Aussage vom Spieler ist wahr, sie wird aber
> abgelehnt.
> Fehler 2: Die Aussage vom Spieler ist falsch, sie wird
> aber angenommen.
>
> gegenebn ist ja:
> n= 50
> k mindestens 10
> p= 30% also 0.3
> zum 1. Fehler: "Mindestens 10 Treffer" bedeutet ja "10
> oder mehr Treffer". Hier kommt mein Taschenrechner auf rund
> 96%, aber das kann doch nicht sein! Wenn die Hypothese wahr
> ist, dann kann die Wahrscheinlichkeit doch nicht so hoch
> sein, dass sie abgelehnt wird, oder?
Um die Wahrsch. eines Fehlers zu berechnen, ermittelt man die Wahrsch. des ABLEHNUNGSBEREICHS; hier also die Wahrsch. dafür, dass bei p=0,3 höchstens 9 Treffer fallen:
[mm] \alpha [/mm] = P(X [mm] \le [/mm] 9) = 0,04.
> zum 2. Fehler: "Mindestes 10 Treffer" bedeutet hier doch im
> Umkehrschluss: "höchstens 9 Treffer". Im Taschenrechner
> komme ich somit auf 4% (die Hypothese ist falsch, wird aber
> mit 4%iger Wahrscheinlichkeit trotzdem angenommen)
>
> Sind meine Schlussfolgerungen richtig oder habe ich dieses
> ganze Hypothesenzeug falsch verstanden? Muss ich überall
> die 30% verwenden oder beim Fehler 2. Art doch nicht 70%?
> Bitte eure Meinung bis hierher - erst dann würde ich mich
> an Aufgabe b versuchen.
Für die Berechnung des [mm] \beta [/mm] - Fehlers brauchst Du die Alternativhypothese und deren Wahrscheinlichkeit!
Wie groß ist denn für einen "normalen" Spieler die Wahrsch., einen Pasch zu werfen? Na, ich denke doch: p=1/6, stimmt's?
Unter dieser Voraussetzung musst Du nun ausrechnen, wie groß P(X [mm] \ge [/mm] 10) ist!
mfG!
Zwerglein
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