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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Fr 27.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Aufgrund einer Theorie über die Vererbung von Intelligenz erwartet man bei einer bestimmten Gruppe von Personen einen mittleren Intelligenzquotienten (IQ) von 105. Dagegen erwartet man bei Nichtgültigkeit der Theorie einen mittleren IQ von 100. Damit erhält man das folgende Testproblem:
[mm] $H_0: \mu=100$ [/mm] versus [mm] $H_1: \mu=105$.
[/mm]
Die Standardabweichung des als normalverteilt angenommenen IQs sei [mm] $\sigma=15$. [/mm] Das Signifikanzniveau sei mit [mm] $\alpha=0,1$ [/mm] festgelegt.
a) Gegen Sie zunächst allgemein für eine Stichprobe vom Umfang n=25
(i) den Ablehnungsbereich eines geeignetes Tests,
(ii) den Annahmebereich dieses Tests und
(iii) die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art an. |
Hallo! Hier meine Ideen zu (i) und (ii).
Bei (iii) habe ich dann eine Verständnisfrage zur Musterlösung.
Zu (i):
Man nimmt einen Gauß-Test.
Als Prüfgroße nimmt man [mm] $\overline{X}$, [/mm] diese ist unter der Nullhypothese doch [mm] $\mathcal{N}(100,9)$-verteilt.
[/mm]
Dann ist [mm] $Z=\frac{\overline{X}-100}{15}\cdot [/mm] 5$ standardnormalverteilt unter [mm] $H_0$.
[/mm]
Da kann ich mir also die Quantile anschauen, in diesem Fall [mm] $z_{0,9}=1,28$.
[/mm]
Das bedeutet [mm] $H_0$ [/mm] wird abgelehnt, wenn $z>1,28$.
Zu (ii):
[mm] $H_0$ [/mm] wird beibehalten, wenn [mm] $z\leq [/mm] 1,28$.
Jetzt meine Frage zu (iii):
Folgendes ist die Musterlösung:
"Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen zu können, muß man zunächst die Verteilung der Teststatistik unter [mm] $H_1$ [/mm] bestimmen. Unter [mm] $H_1$ [/mm] gilt
[mm] $\overline{X}\sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma^2)$ [/mm] und folglich
[mm] $Z\sim\mathcal{N}\left(\sqrt{n}\cdot \frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma},1\right)=\mathcal{N}\left(\frac{5}{3},1\right)$.
[/mm]
Damit erhält man
[mm] $P(H_0~\text{beibehalten}~|~\mu=\mu_1)=P(Z\leq 1,28|\mu=\mu_1)=\Phi\left(\frac{1,28-1,\overline{6}}{1}\right)=\Phi(-0,38\overline{6})=0,3498$."
[/mm]
Ich verstehe Folgendes dieser Lösung nicht:
Wieso ist [mm] $\overline{X}\sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma^2)$ [/mm] und nicht (wie ich meinen würde) [mm] $\sim \mathcal{N}\left(\mu_1,\frac{\sigma^2}{n}\right)$? [/mm] Ich denke, daß das ein Schreibfehler ist.
Okay, wenn das so ist, ist es mir klar:
Z ist ja [mm] $Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}$ [/mm] und wenn jetzt unter [mm] $H_1$ [/mm] gilt, daß [mm] $\overline{X}\sim\mathcal{N}(\mu_1,\frac{\sigma^2}{n})$, [/mm] so ist halt
[mm] $\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\sim\mathcal{N}(5/3,1)$, [/mm] da die Varianz wieder auf 1 standardisiert wird und sich der Erwartungswert verschiebt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Sa 28.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich verstehe Folgendes dieser Lösung nicht:
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> Wieso ist [mm]\overline{X}\sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma^2)[/mm] und
> nicht (wie ich meinen würde) [mm]\sim \mathcal{N}\left(\mu_1,\frac{\sigma^2}{n}\right)[/mm]?
> Ich denke, daß das ein Schreibfehler ist.
Moin, du hast recht.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 30.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ein weiteres Verständnisproblem bezüglich der obigen Musterlösung:
Muss man beim Gauß-Test die Hypothesen nicht so wählen, daß sie den ganzen Parameter-Raum abdecken (hier sind das die reellen Zahlen)?
Müsste es nicht stattdessen zum Beispiel heißen:
[mm] $H_0: \mu\leq [/mm] 100, [mm] H_1: \mu>100$?
[/mm]
Wenn ja, wie würde man in diesem Fall rechnen: Genauso, wie oben oder anders?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mo 30.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ein weiteres Verständnisproblem bezüglich der obigen
> Musterlösung:
>
> Muss man beim Gauß-Test die Hypothesen nicht so wählen,
> daß sie den ganzen Parameter-Raum abdecken (hier sind das
> die reellen Zahlen)?
Nein, muss man nicht.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 31.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
In unserem Tutorium wurde nämlich haargenau der gleiche Aufgabentext gegeben - nur, daß die Hypothesen hier lauten:
[mm] $H_0: \mu\leq [/mm] 100$ versus [mm] $H_1: \mu [/mm] >100$
Ich verstehe nicht, wieso man zu dem Aufgabentext diese beiden Hypothesen aufstellen kann.
Schön und gut, aber wie soll man bei dieser Formulierung die Verteilung der Teststatistik unter [mm] $H_1$ [/mm] genau bestimmen, sodaß man dann die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Di 31.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Schön und gut, aber wie soll man bei dieser Formulierung
> die Verteilung der Teststatistik unter [mm]H_1[/mm] genau bestimmen,
> sodaß man dann die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2.
> Art berechnen kann?
Dann gibt es nicht eine Zahl, sondern eine Formel, nach der man den
Fehler 2. Art in Abhaengigkeit von [mm] $\mu>100$ [/mm] berechnet.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Di 31.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Das habe ich mir auch gerade überlegt und wenn ich mich nicht täusche, so lautet diese Formel
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art:
[mm] $P(H_0~\text{beibehalten}~|~\mu [/mm] > [mm] 100)=P(Z\leq 1,28~|~\mu >100)=\Phi(1,28-\mu+100)$, [/mm] wobei [mm] $\Phi$ [/mm] die Verteilngsfunktion der Standardnormalverteilung sein soll.
(Bei der Nullhypothese kann man sich doch aber für 100 entscheiden, oder? Ich habe gelesen, daß man den Wert nimmt, der der Alternative am nächsten liegt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Di 31.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich sollte vllt. noch dazu sagen, daß Z die Teststatistik ist und zwar:
[mm] $Z=\sqrt{25}\frac{\overline{X}-100}{15}=\frac{\overline{X}-100}{3}\sim \mathcal{N}(0,1)$ [/mm] unter der Nullhypothese und
[mm] $Z\sim\mathcal{N}\left(\frac{\mu_1-100}{3},1\right)$ [/mm] mit [mm] $\mu_1 [/mm] >100$ unter der Alternative.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:26 Di 31.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Du meinst, daß man den Wert 100 so nicht einsetzen darf, wenn die Nullhypothese [mm] $H_0: \mu\leq [/mm] 100$ lautet?
Ich habe Folgendes in einem Statistikbuch gelesen und war deswegen darauf gekommen:
"Wie kann man nun vorgehen, wenn man eigentlich die Verteilung von Z unter der zusammengesetzten Nullhypothese bestimmen müßte?
Da dies nicht möglich ist, bestimmt man den ABlehnungsbereich so, daß für den Wert von [mm] $\mu$ [/mm] aus [mm] $H_0$, [/mm] der am dichtesten an der Alternative liegt, also für [mm] $\mu=\mu_0$ [/mm] die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich [mm] $\alpha$ [/mm] beträgt."
Das habe ich so verstanden, daß man bei der Nullhypothese [mm] $H_0: \mu\leq [/mm] 100$ ebenso mit [mm] $\mu=100$ [/mm] rechnen kann.
Habe ich da etwas mißverstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 02.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Di 31.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Siehe unten.
vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Di 31.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Das habe ich mir auch gerade überlegt und wenn ich mich
> nicht täusche, so lautet diese Formel
>
> Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art:
>
> [mm]P(H_0~\text{beibehalten}~|~\mu > 100)=P(Z\leq 1,28~|~\mu >100)=\Phi(1,28-\mu+100)[/mm],
> wobei [mm]\Phi[/mm] die Verteilngsfunktion der
> Standardnormalverteilung sein soll.
>
>
>
> (Bei der Nullhypothese kann man sich doch aber für 100
> entscheiden, oder? Ich habe gelesen, daß man den Wert
> nimmt, der der Alternative am nächsten liegt.)
Warum willst du das tun? Du willst doch nur Aussagen uner die
Wahrscheinlichkeiten fuer den Fehler 2. Art treffen, also fuer [mm] $\mu>100$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Di 31.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Leider verstehe ich Deinen Einwand noch immer nicht.
Was genau ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 31.01.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Was genau ist mein Fehler?
Dein "Fehler" besteht darin, dass du anscheinend zu viel tust,
um (iii) zu beantworten. Du sollst nur eine Formel finden fuer
$ [mm] P(H_0~\text{beibehalten}~|~\mu [/mm] > 100)$, und das hast du getan.
vg Luis
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
Die Nullhypthese heisst doch [mm] $\mu\le [/mm] 100$ ,,,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
