ILDGL-System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, ich soll das AWP [mm] \vec{y}(0)= \vektor{1 \\ 1} [/mm] für folgendes System berechnen:
[mm] y_{1}'=-\bruch{1}{2}y_{1}+y_{2}+cosx
[/mm]
[mm] y_{2}'=-y_{1}-\bruch{1}{2}y_{2}-sinx
[/mm]
Ich bin mir da bei einigen Sachen nicht sicher, ob ich es richtig habe.
Als erstes habe ich eine Integralbasis berechnet. Vorher die Eigenwerte und Eigenvektoren.
Eigenwerte: [mm] \lambda=-\bruch{1}{2}+i [/mm] und [mm] \overline{\lambda}=-\bruch{1}{2}-i
[/mm]
Eigenvektoren: zum EW [mm] \lambda [/mm] => [mm] v=\vektor{1 \\ i} [/mm] und zum EW [mm] \overline{\lambda} [/mm] => [mm] v=\vektor{1 \\ -i}
[/mm]
Für die Integralbasis erhalte ich, wenn ich den EV zum EW [mm] \lambda [/mm] nehme:
[mm] \vec{y}_{1}(x)=e^{-\bruch{1}{2}x}(cosx\vektor{1 \\ 0}-sinx\vektor{0 \\ 1})=e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{cosx \\ -sinx}
[/mm]
[mm] \vec{y}_{2}(x)=e^{-\bruch{1}{2}x}(sinx\vektor{1 \\ 0}+cosx\vektor{0 \\ 1})=e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{sinx \\ cosx}
[/mm]
wenn ich jetzt den anderen EV zur Berechnung der Integralbasis nehme bekomme ich:
[mm] \vec{y}_{1}(x)=e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{cosx \\ -sinx}
[/mm]
[mm] \vec{y}_{2}(x)=e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{-sinx \\ -cosx}
[/mm]
[mm] y_{2} [/mm] dieser Integralbasis und [mm] y_{2} [/mm] der ersten Integralbasis unterscheiden sich nur durch das Minus in der Richtung. Die Integralbasen müssten doch trotzdem gleich sein, oder?
Eine partikuläre Lösung erhalte ich durch den Ansatz der Variation der Konstanten:
[mm] y_{p}(x)=2e^{\bruch{1}{2}x}\vec{y}_{1}(x)=2\vektor{cosx \\ -sinx}
[/mm]
Also wird das Gleichungssystem [mm] \vex{y}'=A\vec{y}+\vec{b}(x) [/mm] durch [mm] 2\vektor{cosx \\ -sinx}+c_{1}e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{cosx \\ -sinx}+c_{2}e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{sinx \\ cosx} [/mm] gelöst.
Ist das soweit in Ordnung und was ist mit der zweiten Integralbasis?
Für das AWP:
[mm] \vec{y}(0)= \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
=> [mm] 2\vektor{cos0 \\ -sin0}+c_{1}e^{-\bruch{1}{2}0}\vektor{cos0 \\ -sin0}+c_{2}e^{-\bruch{1}{2}0}\vektor{sin0 \\ cos0}=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] =>2\vektor{1 \\ 0}+c_{1}\vektor{1 \\ 0}+c_{2}\vektor{0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
=> [mm] c_{1}=-1 [/mm] und [mm] c_{2}=1
[/mm]
=> [mm] 2\vektor{cosx \\ -sinx}-e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{cosx \\ -sinx}+e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{sinx \\ cosx} [/mm] löst das AWP
Stimmt das soweit?
Vielen Dank
Lord Pippin
|
|
| |
|
Hallo LordPippin,
> Hallo, ich soll das AWP [mm]\vec{y}(0)= \vektor{1 \\ 1}[/mm] für
> folgendes System berechnen:
>
> [mm]y_{1}'=-\bruch{1}{2}y_{1}+y_{2}+cosx[/mm]
> [mm]y_{2}'=-y_{1}-\bruch{1}{2}y_{2}-sinx[/mm]
>
> Ich bin mir da bei einigen Sachen nicht sicher, ob ich es
> richtig habe.
> Als erstes habe ich eine Integralbasis berechnet. Vorher
> die Eigenwerte und Eigenvektoren.
> Eigenwerte: [mm]\lambda=-\bruch{1}{2}+i[/mm] und
> [mm]\overline{\lambda}=-\bruch{1}{2}-i[/mm]
> Eigenvektoren: zum EW [mm]\lambda[/mm] => [mm]v=\vektor{1 \\ i}[/mm] und zum
> EW [mm]\overline{\lambda}[/mm] => [mm]v=\vektor{1 \\ -i}[/mm]
>
> Für die Integralbasis erhalte ich, wenn ich den EV zum EW
> [mm]\lambda[/mm] nehme:
> [mm]\vec{y}_{1}(x)=e^{-\bruch{1}{2}x}(cosx\vektor{1 \\ 0}-sinx\vektor{0 \\ 1})=e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{cosx \\ -sinx}[/mm]
>
> [mm]\vec{y}_{2}(x)=e^{-\bruch{1}{2}x}(sinx\vektor{1 \\ 0}+cosx\vektor{0 \\ 1})=e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{sinx \\ cosx}[/mm]
>
> wenn ich jetzt den anderen EV zur Berechnung der
> Integralbasis nehme bekomme ich:
> [mm]\vec{y}_{1}(x)=e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{cosx \\ -sinx}[/mm]
>
> [mm]\vec{y}_{2}(x)=e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{-sinx \\ -cosx}[/mm]
>
> [mm]y_{2}[/mm] dieser Integralbasis und [mm]y_{2}[/mm] der ersten
> Integralbasis unterscheiden sich nur durch das Minus in der
> Richtung. Die Integralbasen müssten doch trotzdem gleich
> sein, oder?
Ja, die Integralbasen gleich.
>
> Eine partikuläre Lösung erhalte ich durch den Ansatz der
> Variation der Konstanten:
> [mm]y_{p}(x)=2e^{\bruch{1}{2}x}\vec{y}_{1}(x)=2\vektor{cosx \\ -sinx}[/mm]
>
> Also wird das Gleichungssystem [mm]\vex{y}'=A\vec{y}+\vec{b}(x)[/mm]
> durch [mm]2\vektor{cosx \\ -sinx}+c_{1}e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{cosx \\ -sinx}+c_{2}e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{sinx \\ cosx}[/mm]
> gelöst.
>
> Ist das soweit in Ordnung und was ist mit der zweiten
> Integralbasis?
Ja, das ist soweit in Ordnung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die brauchst Du nicht, da sie der ersten Integralbasis entspricht.
>
> Für das AWP:
> [mm]\vec{y}(0)= \vektor{1 \\ 1}[/mm]
> => [mm]2\vektor{cos0 \\ -sin0}+c_{1}e^{-\bruch{1}{2}0}\vektor{cos0 \\ -sin0}+c_{2}e^{-\bruch{1}{2}0}\vektor{sin0 \\ cos0}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]=>2\vektor{1 \\ 0}+c_{1}\vektor{1 \\ 0}+c_{2}\vektor{0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> => [mm]c_{1}=-1[/mm] und [mm]c_{2}=1[/mm]
> => [mm]2\vektor{cosx \\ -sinx}-e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{cosx \\ -sinx}+e^{-\bruch{1}{2}x}\vektor{sinx \\ cosx}[/mm]
> löst das AWP
>
> Stimmt das soweit?
Ja, das stimmt soweit.
>
> Vielen Dank
>
> Lord Pippin
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Mi 19.01.2011 | | Autor: | LordPippin |
Vielen Dank, MathePower
|
|
|
|
