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IMO - France 1978 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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IMO - France 1978: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 So 23.04.2006
Autor: dazivo

Aufgabe
Es seien zwei positive reelle Folgen (x) und (y), wobei beide monoton steigend sind, also
[mm] $x_{i-1} \geq x_{i}$ [/mm] und [mm] $y_{i-1} \geq y_{i}$. [/mm] Und es sei die Folge (z), die eine Permutation von (y) ist. Beweise, dass
[mm] \summe_{k=1}^{n}{(x_{k}-y_{k})^{2}} \geq \summe_{k=1}^{n}{(x_{k}-z_{k})^{2}} [/mm]

Hab ein bisschen Schwierigkeiten die Ungleichung zu beweisen. Wenn jemand Lust und Zeit hat, kann er oder sie mir vielleicht helfen.

        
Bezug
IMO - France 1978: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Mo 24.04.2006
Autor: DirkG

Weise nach, dass das Minimum von

$$f(z) := [mm] \sum_{k=1}^n (x_k-z_k)^2$$ [/mm]

gerade für das "geordnete" $y$ erreicht wird. Das geht z.B. indirekt, indem du die Annahme der Minimalität von $f(z)$ bei gleichzeitigem Auftreten von [mm] $x_i>x_j,z_i
[mm] $$(x_i-z_i)^2+(x_j-z_j)^2 [/mm] > [mm] (x_i-z_j)^2+(x_j-z_i)^2$$ [/mm]

zum Widerspruch führst.

Bezug
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