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\IZ Algebra: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:38 Di 10.05.2005
Autor: NECO

Hallo,

Ich habe eine Frage,

Jeder Ring ist in eindeutiger Weise eine  [mm] \IZ-Algebra. [/mm]

Das heißt  doch das Jeder Ring, alles hat was [mm] \IZ [/mm] hat oder?



        
Bezug
\IZ Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 Di 10.05.2005
Autor: Julius

Hallo NECO!

> Jeder Ring ist in eindeutiger Weise eine  [mm]\IZ-Algebra.[/mm]

[ok]
  

> Das heißt  doch das Jeder Ring, alles hat was [mm]\IZ[/mm]Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

hat

> oder?

Nein, das heißt es überhaupt nicht!

Es bedeutet, dass jeder Ring $R$ durch den unitären Homomorphismus

$\varphi : \begin{array}{ccc} \IZ & \to & R\\[5pt] z & \mapsto & \mbox{sign}(z)\, \underbrace{(1_R + \ldots + 1_R)}_{|z|\ \mbox{\scriptsize Stück}} \end {array}$

zu einer $\IZ$-Agebra wird.

Wichtig ist: Das gilt auch für nicht-kommutative Ringe, da $\varphi(\IZ) \subset Z(R)$ gilt, wobei $Z(R)$ das Zentrum von $R$ ist (also die Menge der Ringelemente, die mit allen anderen Ringelementen multiplikativ vertauschen).

Definiert man für $z \in \IZ$ und $r \in R$:

$zr:= \varphi(z) \cdot r$,

so gelten für $R$ als $\IZ$-Algebra im Wesentlichen die Gesetze eines $K$-Vektorraums $V$, plus zusätzlich für $z \in \IZ$ und $r,s \in R$:

$z(rs) = (zr)s$.

Viele Grüße
Julius  


Bezug
                
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\IZ Algebra: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:08 Di 10.05.2005
Autor: NECO

Danke, jetz habe ich verstanden.

Bezug
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