\IZ[X] Hauptidealring? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Di 29.01.2008 | | Autor: | Blueevan |
Hallo!
Kann mir jemand von euch sagen, ob [mm] \IZ[X] [/mm] ein Hauptidealringt ist und wenn nicht, warum nicht. Also was wäre ein Ideal in [mm] \IZ[X], [/mm] das kein Hauptideal ist?
Lieben Gruß,
Blueevan
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Hallo!
$ [mm] \IZ[X] [/mm] $ ist kein Hauptidealring.
Es gilt folgender Satz:
Der Polynomring A[X] ist genau dann Hauptidealring, wenn A ein Körper ist. (Wobei hier Hauptidealring als Integritätsbereich, wo alle Ideale Hauptideale sind definiert ist)
Allerdings gilt: Jedes Polynom, dessen führender Koeffizient eine Einheit ist, erzeugt ein Hauptideal.
Denn sei z.b. g := X-a Polynom in Z[x], gZ[x] := b das von g erzeugte Ideal.
Für alle Polynome p [mm] \in [/mm] b und p [mm] \not= [/mm] 0 gilt nun, dass grad(p) [mm] \ge [/mm] grad(g).
Da der führende Koeffizient eine Einheit ist, gilt für alle Polynome p [mm] \in [/mm] b, dass es Polynome q,r gibt, sodass p = qg + r, mit deg(r) < deg(g)
Da b Ideal ist, gilt qg [mm] \in [/mm] b, und natürlich auch p-qg = r [mm] \in [/mm] b
Da deg(r)<deg(g), also deg(r)=0, aber für alle p [mm] \in [/mm] b deg(b) [mm] \ge [/mm] 1, muss r schon das Nullpolynom sein, also ist p = gq und somit ist b ein Hauptideal.
Somit sollte sich umgekehrt ein Polynom, dessen führender Koeffizient [mm] \not= \pm [/mm] 1 (einzige Einheiten in Z) ist, finden lassen, sodass das von diesem Polynom erzeugte Ideal kein Hauptideal ist.
Mfg,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Di 29.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]\IZ[X][/mm] ist kein Hauptidealring.
>
> Es gilt folgender Satz:
> Der Polynomring A[X] ist genau dann Hauptidealring, wenn A
> ein Körper ist. (Wobei hier Hauptidealring als
> Integritätsbereich, wo alle Ideale Hauptideale sind
> definiert ist)
Genau. (Wobei $A$ kommutativ sein soll, nicht?)
> Allerdings gilt: Jedes Polynom, dessen führender
> Koeffizient eine Einheit ist, erzeugt ein Hauptideal.
Ein Hauptideal ist per Definition ein Ideal, welches von einem Element erzeugt wird. Damit brauchst du hier nichts zu beweisen.
> Denn sei z.b. g := X-a Polynom in Z[x], gZ[x] := b das von
> g erzeugte Ideal.
> Für alle Polynome p [mm]\in[/mm] b und p [mm]\not=[/mm] 0 gilt nun, dass
> grad(p) [mm]\ge[/mm] grad(g).
> Da der führende Koeffizient eine Einheit ist, gilt für
> alle Polynome p [mm]\in[/mm] b, dass es Polynome q,r gibt, sodass p
> = qg + r, mit deg(r) < deg(g)
> Da b Ideal ist, gilt qg [mm]\in[/mm] b, und natürlich auch p-qg = r
> [mm]\in[/mm] b
> Da deg(r)<deg(g), also deg(r)=0, aber für alle p [mm]\in[/mm] b
> deg(b) [mm]\ge[/mm] 1, muss r schon das Nullpolynom sein, also ist p
> = gq und somit ist b ein Hauptideal.
>
> Somit sollte sich umgekehrt ein Polynom, dessen führender
> Koeffizient [mm]\not= \pm[/mm] 1 (einzige Einheiten in Z) ist,
> finden lassen, sodass das von diesem Polynom erzeugte Ideal
> kein Hauptideal ist.
Vorsicht, das sind dann auch Hauptideale: sie werden ja von genau einem Element erzeugt!
Allerdings, wenn $a$ eine Nichteinheit in [mm] $\IZ$ [/mm] ist (oder allgemeiner: in $A$), die nicht 0 ist, dann ist das von $a$ und $x$ in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] (bzw. $A[x]$) erzeugte Ideal kein Hauptideal.
LG Felix
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