Ich komm einfach nicht drauf < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man soll das Integral von 1 bis e bestimmen |
[mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{dx}{x*\wurzel{ln(x)}}}
[/mm]
Also wenn ich das ganze in Maple eingeb, bekomm ich $ [mm] 2*\wurzel{ln(x)} [/mm] $ ,jedoch bringt mir das nicht viel wenn ich keine Zwischenschritte hab und ich hab jetzt schon ca 3 Stunden herumgerechnet und komm nicht drauf wie das gehen soll.
Könnte mir evtl. jemand helfen?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Man soll das Integral von 1 bis e bestimmen
> [mm]\integral_{1}^{e}{\bruch{dx}{x*\wurzel{ln(x)}}}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mach' eine Substitution mit ln(x)=y.
Gruß v. Angela
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Danke für das herzliche willkommen :)
leider bringt mich deine antwort nicht wirklich weiter.
wenn ich sag y=ln(x)
kann ich das umformen auf x = [mm] e^{y} [/mm] , oder? und kann danach das x mit [mm] e^{y} [/mm] ersetzen.
$ [mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{dx}{\wurzel{y}\cdot{}e^{y}}} [/mm] $
und wie gehts dann weiter?
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> leider bringt mich deine antwort nicht wirklich weiter.
Hm. Wenn Ihr keine Substitution hattet, dann natürlich nicht...
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> wenn ich sag y=ln(x)
>
> kann ich das umformen auf x = [mm]e^{y}[/mm] , oder? und kann
> danach das x mit [mm]e^{y}[/mm] ersetzen.
Genau.
Aber noch etwas: mit x = [mm] e^{y} [/mm] hat man [mm] \bruch{dx}{dy}= e^y [/mm] (nach y abgeleitet), umgeformt
[mm] dx=e^y [/mm] dy.
Das dx mußt Du im Integral durch [mm] e^y [/mm] dy ersetzen.
Da Du ein bestimmtes Integral hast, verändern sich bei der Substitution auch die Grenzen: 1 --> ln(1)=0 und e --> ln(e)=1.
Unter  Substitutionsregel findest Du noch zwei vorgerechnete Beispiele.
Gruß v. Angela
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Ok , dh.:
ich bekomm dann
$ [mm] \integral \bruch{e^{y}}{e^{y}\* \wurzel{y}}$
[/mm]
Dann kürzt sich das [mm] e^{y} [/mm] weg und mir bleibt noch
$ [mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{lnx}}$ [/mm] über.
und ich komm auf mein ergebnis von
$ [mm] 2\* \wurzel{lnx} [/mm] $
Das einzige was ich nicht verstehe ist, warum sich die Integrationsgrenzen ändern. bzw. wie man auf das kommt.
LG
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> Ok , dh.:
>
> ich bekomm dann
>
> [mm]\integral \bruch{e^{y}}{e^{y}\* \wurzel{y}}[/mm]
>
> Dann kürzt sich das [mm]e^{y}[/mm] weg und mir bleibt noch
>
> [mm]\integral \bruch{1}{\wurzel{lnx}}[/mm] über.
Nein. Dir bleibt [mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{y}}dy [/mm] über.
Die Stammfunktion hiervon ist bekannt oder sollte es sein, [mm] 2\wurzel{y},
[/mm]
durch Rücksubstitution erhältst Du als [mm] 2\wurzel{ln x}.
[/mm]
Die Grenzen mußt Du ändern, wenn Du mit dem bestimmten Integral rechnest.
Warum? Du ersetzt eine Funktion durch eine andere, klar mußt Du dann die Grenzen passend ändern, denn sonst wäre es äußerst unwahrscheinlich, daß Du die richtige Fläche unter dem Graphen erhältst.
Gruß v.Angela
>
> und ich komm auf mein ergebnis von
>
> [mm]2\* \wurzel{lnx}[/mm]
>
>
> Das einzige was ich nicht verstehe ist, warum sich die
> Integrationsgrenzen ändern. bzw. wie man auf das kommt.
>
> LG
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OK , ich danke Dir für die schnelle Hilfe!
LG
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Nur noch eine kurze Frage zur Substitution.
ich muss die Grenzen ändern wenn ich das
$ [mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{y}}dy [/mm] $ mit dem y berechne.
dh.: in diesem Fall muss ich so rechnen:
$ [mm] \integral_{ln(1)}^{ln(e)} \bruch{1}{\wurzel{y}}dy [/mm] $
wenn ich aber das y in meinem Integral zurücksubstituiere, bleiben meine normalen Grenzen, oder?
dh.:
$ [mm] \integral_{1}^{e} \bruch{1}{\wurzel{ln(x)}}dx [/mm] $
oder?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Do 22.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Devil!
Prinzipiell hast Du Recht mit dieser Vorgehensweise.
Allerdings empfehle ich bei der Methode mit Resubstitution die Lösung als unbestimmtes Integral, dann Resubstitution und am Ende die "alten" (= ursprünglichen) Grenzen einzusetzen, um Verwirrung / Verwechslungen zu vermeiden.
Gruß
Loddar
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Das heißt du meinst so :
$ [mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{ln(x)}}dx [/mm] $
zuerst integrieren
$ 2 [mm] \* \Wurzel{ln(x)} [/mm] $
und dann die Grenze dazuschreiben
e
mit den Grenzen |
1
bzw
$ [mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{y}}dy [/mm] $ = $ 2 [mm] \* {\wurzel{y}} [/mm] $
ln(e)
mit den Grenzen |
ln(1)
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Do 22.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Devil!
Richtig erfasst und erkannt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber Du hast hier noch einen kleinen Tippfehler eingebaut. Es muss heißen (in der ersten Zeile):
[mm] $\integral{\bruch{1}{\red{x}*\wurzel{\ln(x)}} \ dx} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] 2*\wurzel{\ln(x)} [/mm] + C$
Gruß
Loddar
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Ja das is schon klar!
Ich hab nur mehr bei dem Teil weitergemacht nachdem ich [mm] e^{y} [/mm] schon weggekürzt habe.
Ich hätt aber noch eine Frage, wie würd das ganze bei
$ [mm] \integral{\bruch{1}{\red{x^{2}}\cdot{}\wurzel{\ln(x)}} \ dx} [/mm] $
aussehen?
Die Substitution würde nehm ich an gleich bleiben, aber was müsst ich dann mit dem [mm] x^{2} [/mm] machen?
müsste ich dann [mm] (e^{y})^{2} [/mm] einsetzen?
und ich hätte dann im endeffekt
$ [mm] \integral{\bruch{1}{\red{e^{y}}\cdot{}\wurzel{y}} \ dy} [/mm] $
LG
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> Ich hätt aber noch eine Frage, wie würd das ganze bei
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{\red{x^{2}}\cdot{}\wurzel{\ln(x)}} \ dx}[/mm]
>
> aussehen?
>
> Die Substitution würde nehm ich an gleich bleiben, aber was
> müsst ich dann mit dem [mm]x^{2}[/mm] machen?
>
> müsste ich dann [mm](e^{y})^{2}[/mm] einsetzen?
>
> und ich hätte dann im endeffekt
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{\red{e^{y}}\cdot{}\wurzel{y}} \ dy}[/mm]
Ja, so wäre das.
Und dann müßtest Du Dir weitere Strategien überlegen, um dieses Integral unter Kontrolle zu kriegen.
Gruß v. Angela
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