Ideal Erzeuger < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) Man zeige:
[mm] \mathbb{Z}[X]/(X^{3}+4,X^{2}-1)\simeq\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, [/mm] indem man durch Division mit Rest einfachere erzeugende des Ideals [mm] (X^{3}+4,X^{2}-1) [/mm] findet.
(ii) Wie viele Ideale hat: [mm] \mathbb{Q}[X]/(X^{4}-1). [/mm] |
Hallo,
bei (i) komme ich nicht recht auf die Erzeugenden. Ich vermute mal, dass man das Ideal durch ein Polynom erzeugen kann und man dann mit dem chinesischen Restsatz die Isomorphie zeigen kann, wenn man den Erzeuger in irreduzible Faktoren zerlegt. Allerdings brauche ich den Erzeuger dafür.
Ich hab mal Poly.div. gemacht: [mm] X^{3}+4=X(X^{2}-1)+X+4. [/mm] Irgendwie hilft mir das nicht oder?
(ii) [mm] (X^{4}-1)=(X-1)(X+1)(X^{2}+1). [/mm] Demnach müsste das 6 echte Ideale haben. Mit 0 und [mm] \mathbb{Q}[X]/(X^{4}-1) [/mm] wären es dann 8.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:17 Mo 27.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> (i) Man zeige:
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> [mm]\mathbb{Z}[X]/(X^{3}+4,X^{2}-1)\simeq\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z},[/mm]
> indem man durch Division mit Rest einfachere erzeugende des
> Ideals [mm](X^{3}+4,X^{2}-1)[/mm] findet.
>
> (ii) Wie viele Ideale hat: [mm]\mathbb{Q}[X]/(X^{4}-1).[/mm]
> Hallo,
>
> bei (i) komme ich nicht recht auf die Erzeugenden. Ich
> vermute mal, dass man das Ideal durch ein Polynom erzeugen
> kann und man dann mit dem chinesischen Restsatz die
> Isomorphie zeigen kann, wenn man den Erzeuger in
> irreduzible Faktoren zerlegt. Allerdings brauche ich den
> Erzeuger dafür.
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> Ich hab mal Poly.div. gemacht: [mm]X^{3}+4=X(X^{2}-1)+X+4.[/mm]
> Irgendwie hilft mir das nicht oder?
Damit ist [mm] $(X^3 [/mm] + 4, [mm] X^2 [/mm] - 1) = [mm] (X^2 [/mm] - 1, X + 4)$ (wenn dir das nicht kalr ist: ueberleg dir beide Inklusionen mit Hilfe deiner Gleichung!). Das Ideal ist doch schonmal einfacher. Jetzt mach nochmal Division mit Rest, um es noch einfacher zu machen.
> (ii) [mm](X^{4}-1)=(X-1)(X+1)(X^{2}+1).[/mm] Demnach müsste das 6
> echte Ideale haben. Mit 0 und [mm]\mathbb{Q}[X]/(X^{4}-1)[/mm]
> wären es dann 8.
Genau, es gibt $8 = (1 + 1) [mm] \cdot [/mm] (1 + 1) [mm] \cdot [/mm] (1 + 1)$ Ideale.
LG Felix
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