Ideal enthalten in Vereinung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien A ein kommutativer Ring und J, [mm] J_{1}, [/mm] ..., [mm] J_{n} [/mm] Ideale in A mit [mm] J\subset\bigcup_{i=1}^{n} J_{i}
[/mm]
Zeigen Sie: Sind höchstens zwei der [mm] J_{i} [/mm] nicht prim oder beinhaltet A einen unendlichen Körper, so ist J schon in einem der [mm] J_{i} [/mm] enthalten. |
Heyho!
Okay, ich kenne die Aussage für Primideale [mm] J_{i}, [/mm] aber warum das nun auch in diesen Fällen da oben stimmt, ist mir erstmal nicht klar. Wenn nur zwei nicht prim sind, sagen wir [mm] J_{i} [/mm] und [mm] J_{j}, [/mm] die auch gleich sein können, dann sollte man wohl zunächst zeigen, dass J entweder in der Vereinigung der Primideale enthalten ist (1) oder in der Vereinigung von diesen beiden.
Aus (1) folgt sofort die Behauptung. Und wenn ein Ideal in der Vereinigung von zwei o. E. verschiedenen Idealen enthalten ist, warum es dann schon in dem einen enthalten sein muss...Mmh...Dann kann man ja annehmen, dass J nicht in [mm] J_{i} [/mm] enthalten ist, also gibt es ein Element a aus J [mm] \cap J_{j}, [/mm] wie man damit aber nun schließen soll, dass [mm] J_{j} \cap [/mm] J = J ist, seh ich nicht.
Und die Sache mit dem unendlichen Körper, was fällt einem da auf Anhieb ein? Der Polynomring über einem unendlichen Körper...In einer Variablen ist mir das noch klar, naja, mehr oder weniger, zumindest glaub ich die Aussage. Aber wie sieht das im Allgemeinen aus? Man kann ja auch nicht davon ausgehen, dass A ein Polynomring ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Fr 27.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien A ein kommutativer Ring und J, [mm]J_{1},[/mm] ..., [mm]J_{n}[/mm]
> Ideale in A mit [mm]J\subset\bigcup_{i=1}^{n} J_{i}[/mm]
> Zeigen
> Sie: Sind höchstens zwei der [mm]J_{i}[/mm] nicht prim oder
> beinhaltet A einen unendlichen Körper, so ist J schon in
> einem der [mm]J_{i}[/mm] enthalten.
> Heyho!
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> Okay, ich kenne die Aussage für Primideale [mm]J_{i},[/mm] aber
> warum das nun auch in diesen Fällen da oben stimmt, ist
> mir erstmal nicht klar. Wenn nur zwei nicht prim sind,
> sagen wir [mm]J_{i}[/mm] und [mm]J_{j},[/mm] die auch gleich sein können,
> dann sollte man wohl zunächst zeigen, dass J entweder in
> der Vereinigung der Primideale enthalten ist (1) oder in
> der Vereinigung von diesen beiden.
Vielleicht kannst du auch den Beweis anpassen, der davon ausgeht das alle [mm] $J_i$ [/mm] Primideale sind.
> Aus (1) folgt sofort die Behauptung. Und wenn ein Ideal in
> der Vereinigung von zwei o. E. verschiedenen Idealen
> enthalten ist, warum es dann schon in dem einen enthalten
> sein muss...Mmh...Dann kann man ja annehmen, dass J nicht
> in [mm]J_{i}[/mm] enthalten ist, also gibt es ein Element a aus J
> [mm]\cap J_{j},[/mm] wie man damit aber nun schließen soll, dass
> [mm]J_{j} \cap[/mm] J = J ist, seh ich nicht.
Wenn das nicht der Fall ist, gibt es zwei Elemente $a, b [mm] \in [/mm] J$ mit $a [mm] \not\in J_i$ [/mm] und $b [mm] \not\in J_j$ [/mm] (wobei [mm] $J_i$ [/mm] und [mm] $J_j$ [/mm] die nicht-Primideale sind). Betrachte das Element $a + b$. Wodrin liegt es und wodrin nicht?
> Und die Sache mit dem unendlichen Körper, was fällt einem
> da auf Anhieb ein?
Fuehr es auf ein lineare-Algebra-Problem zurueck: ist $K$ ein unendlicher Koerper (bzw ein Koerper mit mindestens $n + 1$ verschiedenen Elementen, das reicht hier sogar), ist $V$ ein $K$-VR und $U, [mm] U_1, \dots, U_n \subseteq [/mm] V$ $K$-UVRe von $V$ mit $U [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^n U_i$, [/mm] dann [mm] $\exist [/mm] i : U [mm] \subseteq U_i$.
[/mm]
Dazu finde ein Element $a [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus U_1$ [/mm] und $b [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \bigcup_{i=2}^n U_i$, [/mm] und schau an fuer welche [mm] $\lambda$ [/mm] das Element $a + [mm] \lambda [/mm] b$ in [mm] $U_j$ [/mm] liegt fuer $j = 1, [mm] \dots, [/mm] n$. Da solltest du hoechstens $n$ verschiedene solche [mm] $\lambda$ [/mm] finden koennen, womit es nach Annahme ($K$ hat mehr Elemente) mindestens eine Wahl von [mm] $\lambda$ [/mm] mit $a + [mm] \lambda [/mm] u [mm] \not\in \bigcup U_i$ [/mm] gibt, jedoch $a + [mm] \lambda [/mm] b [mm] \in [/mm] U$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 27.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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