Ideal, kZ, lZ < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mo 29.12.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Gegeben seien $k, [mm] l\in\mathbb{N}$ [/mm] und die Ideale [mm] $I=k\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $J=l\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}$. [/mm] Bestimmen Sie:
I) $I+J$
II) [mm] $I\cap [/mm] J$
III) $IJ$
IV) Wann gilt [mm] $I\subseteq [/mm] J$? |
Hallo,
ich wollte fragen ob ich diese Aufgabe richtig gelöst habe.
I)
[mm] $I+J=\{i+j|i\in I, j\in J\}$
[/mm]
[mm] $k\mathbb{Z}=\{kz|z\in\mathbb{Z}\}$
[/mm]
[mm] $l\mathbb{Z}=\{lz|z\in\mathbb{Z}\}$
[/mm]
[mm] $I+J=\{(k+l)z|z\in\mathbb{Z}\}$
[/mm]
II)
[mm] $I\cap J=kl\mathbb{Z}$
[/mm]
[mm] $I\cap J=\{i| i=kz\text{und} i=lz\}$
[/mm]
[mm] $=\{i| i\text{teilt}k\text{und}i\text{teilt}l\}$
[/mm]
[mm] $=\{i|i=klz\}=kl\mathbb{Z}$
[/mm]
Ich denke, dass die resultierende Menge eigentlich richtig sein müsste. Nur weiß ich nicht, ob die "Argumentation" dorthin so stichhaltig ist.
III)
Hier habe ich denke ich die größten Schwierigkeiten. Wir haben aufgeschrieben:
[mm] $IJ=\{i_1j_1+...+i_lj_l|l\geq1, i_1,...,i_l\inI, j_1,...,j_l\in J\}$
[/mm]
Für mich ist dies hier einfach
[mm] $IJ=kl\mathbb{Z}=I+J$
[/mm]
Denn es ist ja im Grunde egal wie ich die Elemente aus [mm] $k\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $l\mathbb{Z}$ [/mm] "kombiniere". Am Ende sind in der Menge $IJ$ einfach alle ganzen Zahlen die durch $kl$ teilbar sind.
Oder sehe ich das falsch.
IV)
Wann gilt [mm] $I\subset [/mm] J$?
[mm] $I\subseteq [/mm] J$ gilt, wenn $k|j$ gilt.
Denn wenn k nicht j teilt, dann enthält I ein Element, dass nicht in J liegt.
Würde das bereits reichen?
Vielen Dank fürs drüberschauen.
|
|
| |
|
I) Kann das stimmen? Betrachte $k=l=1$.
II) Kann das stimmen? Betrachte $ k=l=2$.
III) Hier stimmt das erste mal die Intuition, $ [mm] k\IZ*l\IZ=kl\IZ [/mm] $.
Kennst du erzeugte Ideale? Wenn $ X $ eine Menge ist, dann ist $(X) $ das kleinste Ideal, das $ X $ enthält. Z.B. ist [mm] $(\{a\}) [/mm] =aR $ in einem kommutativen Ring R.
Nun mache dir die folgenden Dinge klar: [mm] $(X)+(Y)(X\cup [/mm] Y)$, [mm] $(X)*(Y)=(\{xy\mid x\in X, y\in Y\}) [/mm] $ (das sollte besonders bei der 3 helfen).
Bei der 1 weißt du hiermit, dass kZ+lZ das kleinste Ideal ist, welches k und l enthält - sowohl k und l müssen also Vielfache des Erzeugers sein, aber so wenig andere Zahlen wie möglich dürfen auch Vielfache sein.
Wegen [mm] $I+J=(I\cup [/mm] J)$ kann man sich schon denken, dass [mm] $I\cap [/mm] J$ gewissermaßen "dual" ist.
Als Übungsaufgabe, beziehungsweise auch um etwas Intuition zu erlangen könntest du dir noch klar machen, dass in kommutativen Ringen stets $ [mm] I\cdot J\subseteq I\cap [/mm] J $ gilt, und dass die umgekehrte Inklusion genau dann richtig ist, wenn $ I+J=R $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mo 29.12.2014 | | Autor: | YuSul |
"I) Kann das stimmen? Betrachte $ k=l=1 $.
II) Kann das stimmen? Betrachte $ k=l=2 $. "
Du hast recht...
Hast du eine Erklärung dafür, dass meine Rechnung mit den Mengen murks ist?
Also besonders für I), ich habe doch eigentlich nur die jeweiligen Mengen hingeschrieben und umgeformt?
Nein, erzeugte Ideale kennen wir leider nicht.
Wie zitiert ihr eigentlich die Beiträge so? Ich finde da irgendwie den "Knopf" nicht... :)
|
|
|
| |
|
Bei 1. Du hast ein Element aus kZ, z.B. kx mit [mm] x$\in [/mm] Z $ und eines aus lZ, z.B. ky mit [mm] $y\in [/mm] Z $. Ihre Summe ist kx+ly - es gibt keinen Grund dafür, dass es ein z gibt mit kx+ly=(k+l) z. Bei deiner Rechnung hast du angenommen, x und y müssten übereinstimmen.
Ich könnte dir natürlich die Lösungen verraten und du versuchst nur noch sie dann zu beweisen. Sag, wenn du das möchtest. Oder du versuchst nochmal dir folgendes klar zu machen: Es gilt ja $ k=k1+l0, [mm] l=k0+l1\in [/mm] kZ+lZ$. Wenn jetzt kZ+lZ=mZ gilt, dann müssen sowohl k als auch l Vielfache von m sein, und für dieses Problem muss m die "bestmögliche" Lösung sein. Denke mal an die Grundschule.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mo 29.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Achso, dann wahrscheinlich das kleinste gemeinsame Vielfache von k und l.
Also [mm] $I+J=kgV(k,l)\mathbb{Z}$. [/mm] Dann müsste ich dies nur noch beweisen.
|
|
|
| |
|
k und l müssen Vielfache hiervon sein, nicht umgekehrt. Aber den kgV braucht man bei einer anderen Aufgabe noch.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Di 30.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann bleibt ja eigentlich nur noch der ggT...
Ich versuche gerade es mir an einem Beispiel klar zu machen. Zum Beispiel
[mm] $2\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $10\mathbb{Z}$, [/mm] da ist es klar, dass ihre "Summe" wieder [mm] $2\mathbb{Z}$ [/mm] ist. Das wäre hier ja der ggT, aber für Teilerfremde Zahlen müsste die "Summe" dann ja stets [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] sein, weil der ggT von etwa 3 und 10 ja 1 wäre.
|
|
|
| |
|
Und tatsächlich, [mm] $-9\in 3\IZ$, $10\in 10\IZ [/mm] $, also [mm] $1=-9+10\in 3\IZ+10\IZ [/mm] $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Di 30.12.2014 | | Autor: | YuSul |
:) ja das war mir bewusst, dass man alle Elemente aus [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] als Addition von Elementen aus [mm] $3\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $10\mathbb{Z}$ [/mm] darstellen kann.
Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß wie ich dies nun beweisen kann.
|
|
|
| |
|
Es gibt zwei Inklusionen zu zeigen. Die eine Richtung ist trivial, da solltest du wirklich selbst draufkommen. Für die andere Richtung gibt es da das ![[]](/images/popup.gif) Lemma von Bezout. Entweder solltet ihr das in dieser oder einer früheren Vorlesung schonmal beweisen, oder du musst es jetzt tun, denn es ist im Wesentlichen äquivalent zu der Aussage. Dazu gibt es etwas, das nennt sich Division mit Rest.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Alternativ: Wenn du schon weißt, dass alle Untergruppen (und damit auch alle Ideale) die Form $ [mm] a\IZ [/mm] $ haben, weißt du ja schon, dass du $ [mm] k\IZ+l\IZ=a\IZ [/mm] $ schreiben kannst. Also gilt $ [mm] k\IZ\subseteq a\IZ [/mm] $, gemäß IV heißt das $ [mm] a\mid [/mm] k $. Genauso sieht man $ [mm] a\mid [/mm] l $. Also ist $ a $ ein gemeinsamer Teiler.
Ist auch $b$ ein gemeinsamer Teiler, das heißt, gilt $ [mm] k\IZ\subseteq b\IZ [/mm] $ und $ [mm] l\IZ\subseteq b\IZ [/mm] $. Daraus folgt schon (warum?) $ [mm] k\IZ+l\IZ\subseteq b\IZ [/mm] $, also $ [mm] b\mid [/mm] a $. Das heißt jeder gemeinsame Teiler teilt auch $ a$, $ a $ ist somit der kleinste gemeinsame Teiler.
Das funktioniert sogar in jedem Hauptidealring, ist also eigentlich besser. Die Division mit Rest kommt hier trotzdem vor, nämlich in der Klassifikation der Untergruppen von [mm] $\IZ [/mm] $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 30.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, die alternative finde ich auch besser.
Ich weiß, dass [mm] $I=m\mathbb{Z}$ [/mm] dazu äquivalent ist, dass I bezüglich Addition von [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] eine Untergruppe ist, bezüglich Addition und Multiplikation ein Rng ist (also "Ring ohne 1") und I ein Ideal von [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] ist.
> Daraus folgt
> schon (warum?) [mm]k\IZ+l\IZ\subseteq b\IZ [/mm], also [mm]b\mid a [/mm].
Weil wenn b|k und b|l, dann gilt auch b|k+l, denn ich kann k=xb und l=yb schreiben. Also
xb+yb=b(x+y) somit b|k+l
Ich zeige also, dass wenn ich [mm] $k\IZ+l\IZ$ [/mm] rechne dies wieder von der Form [mm] $a\IZ$ [/mm] ist, weil die Untergruppen/Ideale von [mm] $\IZ$ [/mm] diese Form haben.
Dann müssen aber bereits k und l dieses a teilen.
Nun zeige ich weiter, dass wenn es ein weiteres b gibt für das
[mm] $k\IZ+l\IZ=b\IZ$ [/mm] gilt, dann muss b|a gelten.
> Das heißt jeder gemeinsame Teiler teilt auch $ a $, $ a $ ist somit der
> kleinste gemeinsame Teiler.
Muss a nicht dann der größte gemeinsame Teiler sein, wenn jedes andere b schon a teilt?
|
|
|
| |
|
> Ja, die alternative finde ich auch besser.
>
> Ich weiß, dass [mm]I=m\mathbb{Z}[/mm] dazu äquivalent ist, dass I
> bezüglich Addition von [mm]\mathbb{Z}[/mm] eine Untergruppe ist,
> bezüglich Addition und Multiplikation ein Rng ist (also
> "Ring ohne 1") und I ein Ideal von [mm]\mathbb{Z}[/mm] ist.
>
> > Daraus folgt
> > schon (warum?) [mm]k\IZ+l\IZ\subseteq b\IZ [/mm], also [mm]b\mid a [/mm].
>
> Weil wenn b|k und b|l, dann gilt auch b|k+l, denn ich kann
> k=xb und l=yb schreiben. Also
>
> xb+yb=b(x+y) somit b|k+l
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich zeige also, dass wenn ich [mm]k\IZ+l\IZ[/mm] rechne dies wieder
> von der Form [mm]a\IZ[/mm] ist, weil die Untergruppen/Ideale von [mm]\IZ[/mm]
> diese Form haben.
>
> Dann müssen aber bereits k und l dieses a teilen.
> Nun zeige ich weiter, dass wenn es ein weiteres b gibt für
> das
> [mm]k\IZ+l\IZ=b\IZ[/mm] gilt, dann muss b|a gelten.
Genau.
> > Das heißt jeder gemeinsame Teiler teilt auch [mm]a [/mm], [mm]a[/mm] ist
> somit der
> > kleinste gemeinsame Teiler.
>
> Muss a nicht dann der größte gemeinsame Teiler sein, wenn
> jedes andere b schon a teilt?
Ja natürlich, der kleinste gemeinsame Teiler wäre auch kein sehr nützliches Konzept :D
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 30.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Super.
Dann kann ich mich ja nun
II) [mm] $I\cap J=kgV(k,l)\Z$ [/mm] widmen.
Ich nenne mal kgV(k,l)=a wieder.
Richtig?
Hier suche ich ja alle Elemente die sowohl vielfaches von k, sowie Vielfaches von l sind.
Das es sich bei dem Schnitt um irgendein Vielfaches von k und l handeln muss ist ja ziemlich einleuchtend, da im Schnitt ja die Elemente liegen, welche in beiden Mengen vorkommt, also gilt diesmal $k|a$ und $l|a$.
Angenommen a wäre nicht die kleinste Zahl für die das gilt und es gibt ein b>a mit $k|b$ und $l|b$, dann ist offensichtlich [mm] $b\IZ\subset a\IZ$. [/mm] Dann ist aber auch [mm] $b\IZ\subset I\cap [/mm] J$, also unmöglich die gesuchte Menge, weshalb a nur das Minimum der Menge aller Zahlen sein kann die sowohl von k als auch l geteilt werden.
> Ja natürlich, der kleinste gemeinsame Teiler wäre auch kein sehr nützliches
> Konzept :D
Ja, das wäre ziemlich nutzlos. :D
|
|
|
| |
|
> Super.
>
> Dann kann ich mich ja nun
>
> II) [mm]I\cap J=kgV(k,l)\Z[/mm] widmen.
>
> Ich nenne mal kgV(k,l)=a wieder.
>
> Richtig?
>
> Hier suche ich ja alle Elemente die sowohl vielfaches von
> k, sowie Vielfaches von l sind.
> Das es sich bei dem Schnitt um irgendein Vielfaches von k
> und l handeln muss ist ja ziemlich einleuchtend, da im
> Schnitt ja die Elemente liegen, welche in beiden Mengen
> vorkommt, also gilt diesmal [mm]k|a[/mm] und [mm]l|a[/mm].
Ja. Es gilt $ [mm] a\IZ=k\IZ\cap l\IZ\subseteq l\IZ [/mm] $, und das ist gemäß IV äquivalent zu $ [mm] k\mid [/mm] a $.
> Angenommen a wäre nicht die kleinste Zahl für die das
> gilt und es gibt ein b>a mit [mm]k|b[/mm] und [mm]l|b[/mm]
Man sollte den $ kgV $ nicht als kleinstes Vielfaches bezüglich der Ordnung [mm] $\le [/mm] $ definieren, sondern bezüglich der Teilbarkeitsordnung. Im Fall von natürlichen Zahlen stimmt das zwar zufällig überein, aber für ganze Zahlen stimmt es schon nicht mehr und in allgemeinen Ringen (oder Halbgruppen) gibt es überhaupt keine [mm] $\le [/mm] $-Ordnung. Aber gut, nehmen wir an, $ b $ ist ein weiteres Vielfaches von $ k $ und $ l $. Zu zeigen ist, dass $ b$ bereits Vielfaches von $ a $ ist.
> dann ist
> offensichtlich [mm]b\IZ\subset a\IZ[/mm].
Das ist nicht offensichtlich, das wollen wir zeigen.
> Dann ist aber auch
> [mm]b\IZ\subset I\cap J[/mm],
Das wiederum ist offensichtlich, beziehungsweise ergibt sich aus den Annahmen $ k, [mm] l\mid [/mm] b $. Jetzt können wir folgern, dass $ [mm] a\mid [/mm] b$, jedes gemeinsame Vielfache von $ k, l $ wird also von $ a $ geteilt, somit ist $ a $ das kleinste solche.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mi 31.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, ich möchte nun also zeigen, dass dann bereits a|b gilt.
Also das man b=ax schreiben kann.
Außerdem weiß ich, dass b>a und $k,l|a$ und $k,l|b$
Dann kann ich schreiben
[mm] $a=kx_1$ [/mm]
[mm] $a=lx_2$
[/mm]
[mm] $b=kx_3$
[/mm]
[mm] $b=lx_4$
[/mm]
Die Überlegung sollte nun in jedem Fall Analog gehen, also für k und l gleich.
Wegen [mm] $a=kx_1$ [/mm] ist [mm] $k=\frac{a}{x_1}$ [/mm] vor allem gilt [mm] $x_1|a$
[/mm]
Dies kann ich nun einsetzen, also
[mm] $b=\frac{a}{x_1}x_3$
[/mm]
Wenn ich jetzt noch zeigen kann, dass [mm] $x_1|x_3$ [/mm] gilt, dann bin ich fertig, weil ich dann [mm] $\frac{x_3}{x_1}=:x$ [/mm] setzen kann.
Ich muss hier irgendeine Voraussetzung übersehen.
Denn das sollte ich im allgemeinen nicht folgern können.
Zum Beispiel für k=2 a=4 b=6 dann ist
$a=2*2$
$b=2*3$ aber 2 teilt nicht 3
|
|
|
| |
|
Warum denn so kompliziert? Du hattest es doch oben schon fast stehen, nur eben in der falschen Reihenfolge. Wir waren uns einig, dass [mm] $k\mid [/mm] b$ und [mm] $l\mid [/mm] b$, das heißt [mm] $b\IZ\subseteq k\IZ$ [/mm] und [mm] $b\IZ\subseteq k\IZ$, [/mm] also [mm] $b\IZ\subseteq k\IZ\cap l\IZ$. [/mm] Dieses ist genau [mm] $a\IZ$, [/mm] also [mm] $a\mid [/mm] b$, also ist jedes gemeinsame Vielfache von $k$ und $l$ auch schon Vielfaches von $a$.
Du hattest nur oben einfach behauptet, es wäre [mm] $b\IZ\subseteq a\IZ$ [/mm] und hast daraus gefolgert, dass [mm] $b\IZ\subseteq k\IZ$ [/mm] und [mm] $b\IZ\subseteq l\IZ$, [/mm] dabei muss man es andersrum machen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 31.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, danke.
Meine Begrüdung für IV) ist so ausreichend?
Dann fehlt nur noch III) so wie ich es im Eingangspost gemacht habe geht es nicht?
|
|
|
| |
|
> Denn es ist ja im Grunde egal wie ich die Elemente aus $ [mm] k\mathbb{Z} [/mm] $ und $ [mm] l\mathbb{Z} [/mm] $ "kombiniere".
Naja, das würde ich jetzt nicht durchgehen lassen. Weise einfach schnell die beiden Richtungen [mm] $(k\IZ)(l\IZ)\subseteq kl\IZ$ [/mm] und [mm] $kl\IZ\subseteq (k\IZ)(l\IZ)$ [/mm] nach.
IV) Es gilt [mm] $k\IZ\subseteq l\IZ\iff l\mid [/mm] k$, das hattest du glaube ich im Eingangspost vertauscht. Weise beide Richtungen einzeln nach. Ich würde außerdem IV an den Anfang stellen, weil es die einfachste Aufgabe ist und vor allem weil wir in den anderen drei Teilen laufend diese Äquivalenz verwendet haben.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Mi 31.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, das sollte ich hinbekommen.
Vielen Dank für deine Hilfe.
|
|
|
| |
|
> Wie zitiert ihr eigentlich die Beiträge so? Ich finde da
> irgendwie den "Knopf" nicht... :)
Links unten vom Textfeld steht "Zitieren" und "Vorschau".
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
|
