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Hallo ihr Lieben!
Wünsche euch allen einen schönen Sonntag!
Habe noch eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme.
Sie geht so:
Sei R ein Ring (kommutativ mit 1), N die Menge seiner Nichteinheiten.
Es gelte: [mm] a,b\in [/mm] N [mm] \Rightarrow a+b\in [/mm] N. Beweise:
a) N ist ein Ideal von R.
b) N ist ein maximales Ideal von R.
Nun meine Fragen:
zu Nichteinheit:
Ist [mm] a\in [/mm] N eine Nichteinheit, wenn für alle [mm] a'\in [/mm] N gilt: [mm] a*a'\not=1 [/mm] ?
Kann man a'=: [mm] a^{-1} [/mm] setzen, weil es durch a eindeutig bestimmt ist?
Dann wäre doch [mm] a^{-1} [/mm] auch Nichteinheit, oder?
zu a):
Ich muss doch nun zeigen, dass N Untergruppe von R ist mit [mm] ra\in [/mm] N für alle [mm] r\in [/mm] R und [mm] a\in [/mm] N, oder?
Reicht es für das Untergruppenkriterium z.z.: [mm] a*b^{-1}\in [/mm] N für alle [mm] a,b\in [/mm] N ?
zu b):
Ich muss ja nun zeigen, dass [mm] N\not=R [/mm] ist und dass gilt: Für jedes Ideal M von R mit [mm] N\subset M\subset [/mm] R folgt M=N oder M=R.
Das [mm] N\not=R [/mm] gilt, ist ja klar. Aber wie finde ich das M, das die Bedingung erfüllt?!
Irgendwie blicke ich überhaupt nicht durch, weil mich das mit der "Menge der Nichteinheiten" total verwirrt (hatten wir in der Vorlesung nicht)!
So viele Fragen...
Wäre super lieb, wenn mir jemand helfen könnte.
Lieben Gruß Jessi
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Hi Jessi
nun gut ich versuche mal, Dir zu helfen,aber mir ist schon malnicht klar, wie du das meinst mit [mm] a^{-1}:=a^{'}? [/mm] Aber das ist ja eher nur nebensächlich. Als die Nichteinheiten.. Dasklingt jetzt kompliziert,aber das sind einfach alle Elemente die nicht invertierbar sind. Wenn man also zum Beispiel den Ring [mm] \IZ [/mm] nimmt, dann sind dasalle Zahlen ausser [mm] \pm [/mm] 1. Irgendwie klar. gut danngehts mal los. Also um zu zeigen, dass N ein Ideal ist, muss eben die Addition von zwei Nichteinheiten wieder eine Nichteinheit sein und das Produkt einer Nichteinheit mit einembeliebigen Elemnt wieder eine Nichteinheit. Das ist eigentlich ganz einfach zu zeigen.
Zum Problem des Maximalen Ideals. Als zuerst dass N nicht der ganze Ring ist,wieso ist das klar? Gibt es immer mindestens ein invertierbares Element? - Ok das ist jetzt vielleicht haarspalterei.. Nun gut also nimm dann mal an es gibt ein Ideal [mm] \cal{I} [/mm] so dass [mm] \cal{N}\subset\cal{I}\not=R. [/mm] Hmm also ist in [mm] diesem\cal{I} [/mm] mitdestens ein Element invetrierbar... Also [mm] \exists [/mm] x, [mm] x^{-1} \in \cal{I} [/mm] so dass [mm] x*x^{-1}=1. [/mm] Damit liegt dann aber auch 1 [mm] in\cal{I}... [/mm] Wenn aber 1 in einem Ideal liegt,was folgt dann daraus? Ich hoffe soweit konnte ich Dir mal helfen..
schönen Sonntag noch
Cordian
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> Hi Jessi
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> nun gut ich versuche mal, Dir zu helfen,aber mir ist schon
> malnicht klar, wie du das meinst mit [mm]a^{-1}:=a^{'}?[/mm] Aber
> das ist ja eher nur nebensächlich. Als die Nichteinheiten..
> Dasklingt jetzt kompliziert,aber das sind einfach alle
> Elemente die nicht invertierbar sind. Wenn man also zum
> Beispiel den Ring [mm]\IZ[/mm] nimmt, dann sind dasalle Zahlen
> ausser [mm]\pm[/mm] 1. Irgendwie klar.
Hallo Cordian!
Ja, das habe ich verstanden!
> um zu zeigen, dass N ein Ideal ist, muss eben die Addition
> von zwei Nichteinheiten wieder eine Nichteinheit sein
Das ist doch schon in den Voraussetzungen gegeben, oder?
> und das Produkt einer Nichteinheit mit einembeliebigen Elemnt
> wieder eine Nichteinheit. Das ist eigentlich ganz einfach
> zu zeigen.
Also, ich sage: Sei [mm] a\in [/mm] N und [mm] r\in [/mm] R. z.z. [mm] a*r\in [/mm] N. dann komme ich leider nicht weiter!
> Zum Problem des Maximalen Ideals. Als zuerst dass N nicht
> der ganze Ring ist,wieso ist das klar?
Ich dachte, weil die Menge der Nichteinheiten kleiner ist, als der ganze Ring.
> Gibt es immer mindestens ein invertierbares Element? - Ok das ist jetzt
> vielleicht haarspalterei.. Nun gut also nimm dann mal an es
> gibt ein Ideal [mm]\cal{I}[/mm] so dass
> [mm]\cal{N}\subset\cal{I}\not=R.[/mm] Hmm also ist in [mm]diesem\cal{I}[/mm]
> mitdestens ein Element invetrierbar... Also [mm]\exists[/mm] x,
> [mm]x^{-1} \in \cal{I}[/mm] so dass [mm]x*x^{-1}=1.[/mm] Damit liegt dann
> aber auch 1 [mm]in\cal{I}...[/mm] Wenn aber 1 in einem Ideal
> liegt,was folgt dann daraus? Ich hoffe soweit konnte ich
> Dir mal helfen..
Willst du darauf hinaus, dass I dann der ganze Ring ist und damit einen Widerspruch bewirken?
Oh, Algebra ist echt nicht meine Welt!
> schönen Sonntag noch
...wünsche ich dir auch! LG Jessi
>
> Cordian
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Hallo Jessi
"Also, ich sage: Sei N und R. z.z. N. dann komme ich leider nicht weiter! "
Also gut. Also [mm] x_{r} [/mm] ein beliebiges Ringelement und [mm] y_{N} [/mm] eine Nichteinheit. Gut nun bilden wir [mm] x_{R}*y_{N}. [/mm] Gut angenommen es existiert einElement z das das Inverse zu diesem Produkt ist. Also [mm] z*x_{R}*y_{N}=1. [/mm] Dann betrachte mal nur das Produkt von z mit [mm] x_{R}. [/mm] Das wäre dann ja ein inverses von [mm] y_{N} [/mm] und das geht ja nicht....
"Ich dachte, weil die Menge der Nichteinheiten kleiner ist, als der ganze Ring. "
Naja ein Ring mit eins auf jeden Fall, weil ja eins immer ne Einheit ist.. desshalb sagte ich ja haarspalterei:)
"Willst du darauf hinaus, dass I dann der ganze Ring ist und damit einen Widerspruch bewirken? "
Genau, also sobald ein Element in einem Ideal invertierbar ist, bedeutet das, dass das ideal der ganze Ring ist! Weil dann die Eins in dem Ideal ist und somit jedesProdukt eines beliebigen Elementes aus dem Ring mit der Eins´auch wieder drinnen ist. Klar`?
"Oh, Algebra ist echt nicht meine Welt! "
Oh ich hoffe mal du fühlst dich doch recht wohl eines Tages in der Welt der Algebra. Wenn man es mal etwas verstanden hat macht es echt Spass... versprochen :o)
Also nochmals schönen Sonntag
Cordian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 So 03.04.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
> Also gut. Also [mm]x_{r}[/mm] ein beliebiges Ringelement und [mm]y_{N}[/mm]
> eine Nichteinheit. Gut nun bilden wir [mm]x_{R}*y_{N}.[/mm] Gut
> angenommen es existiert einElement z das das Inverse zu
> diesem Produkt ist. Also [mm]z*x_{R}*y_{N}=1.[/mm] Dann betrachte
> mal nur das Produkt von z mit [mm]x_{R}.[/mm] Das wäre dann ja ein
> inverses von [mm]y_{N}[/mm] und das geht ja nicht....
Ach ja, ist klar. Ich sollte ja zeigen, dass [mm] a*r\in [/mm] N ist. Einfach Annahme, das es doch eine Einheit ist und dann Widerspruch. Wirklich ganz einfach, aber alleine sehe ich das ganz oft irgendwie nicht!
> "Willst du darauf hinaus, dass I dann der ganze Ring ist
> und damit einen Widerspruch bewirken? "
>
> Genau, also sobald ein Element in einem Ideal invertierbar
> ist, bedeutet das, dass das ideal der ganze Ring ist!
> Weil dann die Eins in dem Ideal ist und somit jedesProdukt eines
> beliebigen Elementes aus dem Ring mit der Eins´auch wieder
> drinnen ist. Klar'?
Ja, jetzt ist mir alles klar!
> "Oh, Algebra ist echt nicht meine Welt! "
>
> Oh ich hoffe mal du fühlst dich doch recht wohl eines Tages
> in der Welt der Algebra. Wenn man es mal etwas verstanden
> hat macht es echt Spass... versprochen :o)
Ja, das denke ich auch. Seitdem ich hier im Forum bin, habe ich auch viel mehr Lust mich mit den Aufgaben zu beschäftigen als vorher. Sich durch tausende von Büchern zu wälzen und doch nichts zu verstehen, ist halt echt deprimierend. Hier wird einem geholfen und man lernt sogar nette Leute kennen!!!
Also, vielen, vielen Dank für deine Hilfe, hast das echt gut erklärt!
Liebe Grüße Jessi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 So 03.04.2005 | | Autor: | BigFella |
"Hier wird einem geholfen und man lernt sogar nette Leute kennen!!! "
*g* gut das münze ich jetzt einfach malauch als einKompliment fürmich, für das ich mich gleich mal bedanke. Freut mich, dass ich dir helfen konnte und ich hoffe Dir mal wieder helfen zu können.Erfolgreiches Arbeiten und Gruß aus bordeaux
Cordian
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