Ideal und ggT < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | | Es sei [mm] R=\{\bruch{a}{b}:a \in \IZ, b \in \IZ\backslash\{0\}, ggT(b,30)=1\}. [/mm] Bestimme Ideale und maximale Ideale von R. |
Hallo, ich weiß nicht so richtig, wie ich diese Ideale beschreiben soll. Ich weiß, dass für b geltern muss, dass es den die Primfaktoren 2,3 und 5 nicht enthalten darf. Dann könnte man doch die Ideale folgendermaßen beschreiben:
für ein m [mm] \in \IZ\backslash\{0,2,3,5,-2,-3,-5\} [/mm] ist
[mm] J:=\{\bruch{a}{mb}|a \in \IZ, b \in \IZ\backslash\{0\}, ggT(b,30)=1\} \subseteq [/mm] R ein Ideal. Die Bedingungen kann man ja sehr schnell verifizieren.
Dann habe ich aber noch nicht die Abgeschlossenheit sichergestellt ...
Aber wie komme ich nun auf die maximalen Ideale?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Mi 18.01.2012 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Es sei [mm]R=\{\bruch{a}{b}:a \in \IZ, b \in \IZ\backslash\{0\}, ggT(b,30)=1\}.[/mm]
> Bestimme Ideale und maximale Ideale von R.
>
> Hallo, ich weiß nicht so richtig, wie ich diese Ideale
> beschreiben soll. Ich weiß, dass für b geltern muss, dass
> es den die Primfaktoren 2,3 und 5 nicht enthalten darf.
> Dann könnte man doch die Ideale folgendermaßen
> beschreiben:
>
> [mm]K:=Potenzmenge(\IZ\backslash\{0,2,3,5\})\backslash\{\},[/mm] k
> [mm]\in[/mm] K beliebig. Dann ist J ein Ideal mit
> J = [mm]\{\bruch{a}{b}:a \in \IZ, b \in k\}[/mm]
Das kann ich nicht nachvollziehen. Dann wäre doch k = [mm] \{-3\} [/mm] möglich, also b = -3. Vielleicht bestimmst du erstmal die Einheiten und dann die Nichteinheiten. Die Nichteinheiten erzeugen nichttriviale Hauptideale.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Physy |
Na gut, dann nehme ich eben noch -2, -3 und -5 heraus aber einen Satz der die Verbindung zwischen Euinheiten und Idealen darstellt ahbe ich nicht und kann mich demnach nicht auf diesen beruhen
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moin Physy,
Überleg dir mal folgendes:
$6 [mm] \in [/mm] R$, $7 [mm] \in [/mm] R$, [mm] $\frac{1}{6} \not \in [/mm] R$, [mm] $\frac{1}{7} \in [/mm] R$.
Dann ist also das von 7 erzeugte Ideal der ganze Ring, da 7 invertierbar ist, das von 6 erzeugte Ideal aber nicht.
Überleg dir mal auf diese Art weiter, welche Zahlen was für Ideale erzeugen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Physy |
Ich habe die Menge der Ideale nun nochmal anders beschrieben und würde mich wirklich sehr freuen, wenn dazu nochmal jemand einen Kommentar abgeben könnte :)
Zu den maximalen Idealen: Da stellt ja, wie bereits gesagt, nur das Inverse ein Problem dar.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mi 18.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe die Menge der Ideale nun nochmal anders
> beschrieben und würde mich wirklich sehr freuen, wenn dazu
> nochmal jemand einen Kommentar abgeben könnte :)
Fuer $m = 6$ ist das gar kein Ideal. Und fuer alle $m$ mit $ggT(m, 30) = 1$ ist es einfach der ganze Ring.
Es gibt zumindest einen Haufen Ideale, die nicht von deinen Idealen abgedeckt werden.
Wie Dieter schon schrieb: bestimm doch erstmal Einheiten, Nichteinheiten und klassifizier die Nichteinheiten bis auf Assoziiertheit.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Physy |
Was haben Einheiten mit Idealen zu tun? Ich habe zu dieser Aufgabe nur die Definition eines Ideals im Skript und keinen Satz oder ähnliches der da einen Zusammenhang darstellt.
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Nehmen wir mal an wir haben zwei Elemente $a,b [mm] \in [/mm] R$, die assoziiert sind, also $a=e*b$ für eine Einheit $e$.
Dann ist $<a>=<b>$.
Wenn du den Satz noch nicht hattest würde ich dir raten ihn kurz zu beweisen, wenn du weißt, wie man Gleichheit von Idealen oder Erzeugnissen zeigt ist das kein großes Problem.
Deshalb ist es überaus interessant zu wissen, was die Einheiten sind und welche Elemente assoziiert sind.
lg
Schadow
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