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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Mo 26.05.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Welche der folgende Ideals sind prim, welche maximal?
i)<2> [mm] \subseteq \IZ[I]
[/mm]
[mm] ii) \subseteq \IR[T]
[/mm]
[mm] iii) \subseteq \IR[T_1,T_2]
[/mm]
[mm] iv) \subseteq \IR[T_1,T_2] [/mm] |
hallo,
ich hoffe ihr könnt mir bei diese aufgabe helfen, bzw eine starthilfe geben, da ic nicht genau weiß wie ich an diese aufgaeb herangehen soll.
erstmal zur def. ein Ideal p heiß prim, falls
a) p echtes ideal, d.h p ist ungleich dem ring R
b) sind a, b [mm] \in [/mm] R, dann folgt a [mm] \in [/mm] R oder b [mm] \in [/mm] R
ein Ideal m heißt maximal, falls
a) m ist echtes ideal, d.h m ungleich dem RIng R
b)für jedes echte ideal a [mm] \subset [/mm] R mit m [mm] \subseteq [/mm] a gilt a=m
meine überlegung:
zu i) <2> ist echtes Ideal in [mm] \IZ[I], [/mm] da <2> [mm] \not=\IZ[I]. [/mm] Sei (1+I),(1-I) [mm] \in \IZ[I] [/mm] mit [mm] (1+I)\cdot(1-I) \in [/mm] <2>. dann gilt aber (1+I) [mm] \not\in [/mm] <2> und [mm] (1-I)\not\in<2> [/mm] und daher ist <2> nicht prim
zu ii)R=R[T], [mm] a=
[/mm]
es ist [mm] R\backslash [/mm] a [mm] \cong \IC, [/mm] d.h [mm] T^2+4 [/mm] ist maximal und prim, da [mm] R\backslash [/mm] a isomorph zu dem körper [mm] \IC [/mm] ist, also ist [mm] R\backslash [/mm] a auch körper und aus einer def. aus VL habe wenn R [mm] \backslash [/mm] a körper dann ist a maximal. daher ist [mm] [/mm] maximal.
ist das richtig? reicht es als beweis aus?
wie mache es mit den anderen, bzw ich verstehe nicht was mit [mm] \IR[T_1,T_2] [/mm] gemeint ist. bei iii) und iv) muss ich ein isomorphismus basteln? falls ja, wie mache ich das?
ich bin für jede hilfe dankbar
gruß, mimo1
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Hallo,
> Welche der folgende Ideals sind prim, welche maximal?
> i)<2> [mm]\subseteq \IZ[I][/mm]
> [mm]ii) \subseteq \IR[T][/mm]
>
> [mm]iii) \subseteq \IR[T_1,T_2][/mm]
> [mm]iv) \subseteq \IR[T_1,T_2][/mm]
>
> hallo,
>
> ich hoffe ihr könnt mir bei diese aufgabe helfen, bzw eine
> starthilfe geben, da ic nicht genau weiß wie ich an diese
> aufgaeb herangehen soll.
>
> erstmal zur def. ein Ideal p heiß prim, falls
> a) p echtes ideal, d.h p ist ungleich dem ring R
> b) sind a, b [mm]\in[/mm] R, dann folgt a [mm]\in[/mm] R oder b [mm]\in[/mm] R
>
> ein Ideal m heißt maximal, falls
> a) m ist echtes ideal, d.h m ungleich dem RIng R
> b)für jedes echte ideal a [mm]\subset[/mm] R mit m [mm]\subseteq[/mm] a
> gilt a=m
In den meisten Fällen ist jeweils die Charakterisierung über R/I nützlicher.
> meine überlegung:
>
> zu i) <2> ist echtes Ideal in [mm]\IZ[I],[/mm] da <2> [mm]\not=\IZ[I].[/mm]
> Sei (1+I),(1-I) [mm]\in \IZ[I][/mm] mit [mm](1+I)\cdot(1-I) \in[/mm] <2>.
> dann gilt aber (1+I) [mm]\not\in[/mm] <2> und [mm](1-I)\not\in<2>[/mm] und
> daher ist <2> nicht prim
Ist I=i? Dann ja; ansonsten was ist I?
> zu ii)R=R[T], [mm]a=[/mm]
> es ist [mm]R\backslash[/mm] a [mm]\cong \IC,[/mm] d.h
Es ist ein massiver Unterschied zwischen [mm] $R\backslash [/mm] I$ und R/I. Wieso sigilt der Isomorphismus?
>[mm]T^2+4[/mm] ist maximal und
> prim, da [mm]R\backslash[/mm] a isomorph zu dem körper [mm]\IC[/mm] ist,
> also ist [mm]R\backslash[/mm] a auch körper und aus einer def. aus
> VL habe wenn R [mm]\backslash[/mm] a körper dann ist a maximal.
> daher ist [mm][/mm] maximal.
>
> ist das richtig? reicht es als beweis aus?
> wie mache es mit den anderen, bzw ich verstehe nicht was
> mit [mm]\IR[T_1,T_2][/mm] gemeint ist.
Polynomring in 2 Variablen. Meist R[X,Y]:=(R[X])[Y]
> bei iii) und iv) muss ich ein
> isomorphismus basteln? falls ja, wie mache ich das?
> ich bin für jede hilfe dankbar
Es ist sehr sinnvoll sich R/I anzuschauen. Dazu ist es u.U.notwenig Isomorphismen zu "basteln".
>
> gruß, mimo1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 27.05.2014 | | Autor: | mimo1 |
ops, ich meinte natürlich immer R/a
aber da fängt glaube schon an, wie sieht R/a aus? Mir fällt es schon für einen polynomring R[T] den faktorring zu betrachten schwer. daher kann ich ich mir [mm] R[T_1,T_2] [/mm] nicht vorstellen.
R/a ist folgenden def.: [mm] R/a:=\{r+a; r \in R\} [/mm]
unter R[T] verstehe ich alle polynome die die folgende form besitzen
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_iT^i [/mm] und bei [mm] R[T_1,T_2] [/mm] wäre es [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i \cdot T_1^i \cdot T_2^i.
[/mm]
wenn ich jetzt die R/a betrachte, dann heißt es dann in R/a liegen alle Polynome die (z.B für [mm] a= [/mm] und [mm] R=\IR[T_1,T_2] [/mm] jetzt) nicht [mm] T_1 [/mm] und vielfache von [mm] T_1 [/mm] enthalten z.b alle Polynome folgender form
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_iT_2^i
[/mm]
habe ich das richtig verstanden?
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> ops, ich meinte natürlich immer R/a
>
> aber da fängt glaube schon an, wie sieht R/a aus? Mir
> fällt es schon für einen polynomring R[T] den faktorring
> zu betrachten schwer. daher kann ich ich mir [mm]R[T_1,T_2][/mm]
> nicht vorstellen.
> R/a ist folgenden def.: [mm]R/a:=\{r+a; r \in R\}[/mm]
>
> unter R[T] verstehe ich alle polynome die die folgende form
> besitzen
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}a_iT^i[/mm] und bei [mm]R[T_1,T_2][/mm] wäre es
> [mm]\summe_{i=1}^{n}a_i \cdot T_1^i \cdot T_2^i.[/mm]
Nein, das wäre [mm] $R[T_1\cdot T_2]$.
[/mm]
Informal ist [mm] R[T_1,T_2]=(R[T_1])[T_2]=\{\sum a_{ij}T^iT^j\}
[/mm]
> wenn ich jetzt die R/a betrachte, dann heißt es dann in
> R/a liegen alle Polynome die (z.B für [mm]a=[/mm] und
> [mm]R=\IR[T_1,T_2][/mm] jetzt) nicht [mm]T_1[/mm] und vielfache von [mm]T_1[/mm]
> enthalten z.b alle Polynome folgender form
> [mm]\summe_{i=1}^{n}a_iT_2^i[/mm]
> habe ich das richtig verstanden?
Die Argumentation und das Ergebnis ist richtig.
Allerdings, nur wenn man von der richtigen Definition ausgeht.
Von deiner Def. ausgehend wäre der Quotient K, da die beiden Variablen immer in der selben Potenz vokämen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 27.05.2014 | | Autor: | mimo1 |
ich habe ein beispiel gefunden, wo folgendes betrachtet wurde
[mm] R[T]/(T^2+1) \cong \IC
[/mm]
sie haben dann einen ringhom. betrachtet
[mm] \phi:R[T] \rightarrow \IC [/mm] über R ( d.h [mm] \phi(x)=x [/mm] für x [mm] \in [/mm] R) mit [mm] \phi(T)=i
[/mm]
weil [mm] T^2+1 \in ker\phi [/mm] faktorisiert [mm] \phi [/mm] über den quotientenkörper [mm] R[T]/(T^2+1)
[/mm]
und man erhält ringhom
[mm] \overline{\phi}: R[T]/(T^2+1) [/mm] rightarrow [mm] \IC
[/mm]
nach korollar ( war leider nicht angeben, da ich dieses beispiel aus dem internet entnommen habe) ist
[mm] 1+(T^2+1), T+(T^2+1) [/mm] eine R-Basis von [mm] R[T]/(T^2+1). [/mm] diese wir auf R-Basis 1,i von [mm] \IC [/mm] abgebildet. da [mm] \overline{\phi} [/mm] linear, folgt die behauptung
meine fragen jetzt dazu: warum ist [mm] T^2+1 [/mm] im [mm] kern\phi? [/mm] hängt es damit zusammen da im kern von R[T] alle polynome die eine konstante besitzen?(aber dann ist es auch einheit) und warum def man [mm] \phi(T)=i?
[/mm]
und wie kommen sie auf die Basen?
könnt ihr mir das beispiel evt. so leicht wie möglich erklären? ich denke wenn ich dieses bsp verstehe, dann kann ich evtl die aufgaben auch lösen.
danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Mi 28.05.2014 | | Autor: | hippias |
> ich habe ein beispiel gefunden, wo folgendes betrachtet
> wurde
> [mm]R[T]/(T^2+1) \cong \IC[/mm]
>
> sie haben dann einen ringhom. betrachtet
> [mm]\phi:R[T] \rightarrow \IC[/mm] über R ( d.h [mm]\phi(x)=x[/mm] für x
> [mm]\in[/mm] R) mit [mm]\phi(T)=i[/mm]
>
> weil [mm]T^2+1 \in ker\phi[/mm] faktorisiert [mm]\phi[/mm] über den
> quotientenkörper [mm]R[T]/(T^2+1)[/mm]
> und man erhält ringhom
> [mm]\overline{\phi}: R[T]/(T^2+1)[/mm] rightarrow [mm]\IC[/mm]
>
> nach korollar ( war leider nicht angeben, da ich dieses
> beispiel aus dem internet entnommen habe)
So ist's recht: mehr kann man von einem Student auch nicht verlangen. Ausser natuerlich, dass man vielleicht in die Bibliothek geht und in ein Lehrbuch zum Thema schaut.
> ist
>
> [mm]1+(T^2+1), T+(T^2+1)[/mm] eine R-Basis von [mm]R[T]/(T^2+1).[/mm] diese
> wir auf R-Basis 1,i von [mm]\IC[/mm] abgebildet. da [mm]\overline{\phi}[/mm]
> linear, folgt die behauptung
>
> meine fragen jetzt dazu: warum ist [mm]T^2+1[/mm] im [mm]kern\phi?[/mm]
Weil [mm] $\phi(1+T^{2})$ [/mm] Null ergibt.
> hängt es damit zusammen da im kern von R[T] alle polynome
> die eine konstante besitzen?(aber dann ist es auch einheit)
Diesen Satz kann ich nicht verstehen. Irgendetwas wird er schon bedeuten.
> und warum def man [mm]\phi(T)=i?[/mm]
Das ist schwierig zu sagen. Grundsatzlich koennte man $T$ eine ganz beliebige komplexe Zahl zuordnen. Wenn das Ziel war einen Isomorphismus zwischen [mm] $\IC$ [/mm] und einem Faktorring von $R$ herzustellen, dann bietet sich diese Wahl an. Naeheres steht wahrscheinlich in dem Skript, zu dem der Informationsschnipsel gehoert, den du im Internet gefunden hast. Eigentlich kein Wunder, dass der nicht unbedingt weiterhilft.
> und wie kommen sie auf die Basen?
Ist dir denn klar, dass diese Elemente eine Basis bilden? Wenn $K$ ein Koerper ist und $f= [mm] T^{n}+ \sum_{i=0}^{n-1}a_{i}T^{i}\in [/mm] K[T]$, dann bilden die Restklassen zu [mm] $1,\ldots,T^{n-1}$ [/mm] stets eine Basis des Faktorringes $K[T]/fK[T]$, denn in gewisser Weise treten im Faktorring nur noch Polynome von Grade hoechstens $n-1$ auf: Ist [mm] $g\in [/mm] K[T]$ so existieren [mm] $q,r\in [/mm] K[T]$ mit $g= qf+r$ und $r=0$ oder [mm] $r\neq [/mm] 0$ und $grad(r)< grad(f)$. Also ist $g+fK[T]= r+fK[T]$.
>
> könnt ihr mir das beispiel evt. so leicht wie möglich
> erklären? ich denke wenn ich dieses bsp verstehe, dann
> kann ich evtl die aufgaben auch lösen.
> danke im voraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Di 27.05.2014 | | Autor: | mimo1 |
wie kann ich überprüfen ob [mm] \IZ[I]/<2> [/mm] ein körper bzx kein körper ist?
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Wie ich hier schonmal gefragt hab, aber keine Antwort erhalten hab:
Was ist I hier?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Di 27.05.2014 | | Autor: | mimo1 |
sorry, I ist i.
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> wie kann ich überprüfen ob [mm]\IZ[i]/<2>[/mm] ein körper bzx
> kein körper ist?
Du hast bereits gezeigt, dass [mm] $\mathbb [/mm] Z[i]/<2>$ kein Integritätsring ist, also insbesondere kein Körper.
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