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Ideale?!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Di 29.11.2016
Autor: studiseb

Aufgabe
Welche der folgenden Mengen sind Ideale?

[mm] M_1:= \IQ \subset \IC [/mm]

[mm] M_2:=\{a\in R |a^n=0 \mbox{ für ein } n \in \IN\}, [/mm] für einen kommutativen Ring R

[mm] M_3:= \IZ[X^2]\subset\IZ[X] [/mm]

Moin, ich habe bei obigen Aufgaben Schwierigkeiten und vielleicht könnt Ihr mir da weiterhelfen. Insb. bei [mm] M_2 [/mm] und [mm] M_3 [/mm] kann ich mir die Mengen nicht so recht vorstellen.

Also für ein Ideal I ist zu zeigen:
(1) (I,+) ist eine Untergruppe von Ring (R,+,*)
      a) 0 [mm] \in [/mm] I
      b) Abgeschlossenheit
      c) additiv Inverses
      d) Assoziativität (brauch ich nicht zu zeigen, da geerbt aus dem Ring)
(2) a [mm] \in [/mm] I [mm] \rightarrow a*r\in [/mm] I für alle r [mm] \in [/mm] Ring


[mm] M_1 [/mm] ist kein Ideal, denn ich kann einen Widerspruch zu (2) zeigen,
z.B. sei [mm] a\in\IQ [/mm] und [mm] r\in\IC [/mm] also kann [mm] r=\sqrt2 [/mm] sein, dann gibt [mm] a*r=a*\sqrt2\notin\IQ [/mm] Kann ich das so machen?

Und wie kann ich mir die Mengen [mm] M_2 [/mm] bzw. [mm] M_3 [/mm] vorstellen bzw. die Idealaxiome zeigen?

Besten Dank für Eure Anregungen und Hilfen.
Grüße Seb

        
Bezug
Ideale?!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Di 29.11.2016
Autor: hippias


> Welche der folgenden Mengen sind Ideale?
>  
> [mm]M_1:= \IQ \subset \IC[/mm]
>  
> [mm]M_2:=\{a\in R |a^n=0 \mbox{ für ein } n \in \IN\},[/mm] für
> einen kommutativen Ring R
>  
> [mm]M_3:= \IZ[X^2]\subset\IZ[X][/mm]
>  Moin, ich habe bei obigen
> Aufgaben Schwierigkeiten und vielleicht könnt Ihr mir da
> weiterhelfen. Insb. bei [mm]M_2[/mm] und [mm]M_3[/mm] kann ich mir die Mengen
> nicht so recht vorstellen.
>  
> Also für ein Ideal I ist zu zeigen:
>  (1) (I,+) ist eine Untergruppe von Ring (R,+,*)
>        a) 0 [mm]\in[/mm] I
>        b) Abgeschlossenheit
>        c) additiv Inverses
>        d) Assoziativität (brauch ich nicht zu zeigen, da
> geerbt aus dem Ring)
>  (2) a [mm]\in[/mm] I [mm]\rightarrow a*r\in[/mm] I für alle r [mm]\in[/mm] Ring
>  
>
> [mm]M_1[/mm] ist kein Ideal, denn ich kann einen Widerspruch zu (2)
> zeigen,
>  z.B. sei [mm]a\in\IQ[/mm] und [mm]r\in\IC[/mm] also kann [mm]r=\sqrt2[/mm] sein, dann
> gibt [mm]a*r=a*\sqrt2\notin\IQ[/mm] Kann ich das so machen?

Streng genommen, nein: denn [mm] $0\cdot \sqrt{2}\in \IQ$. [/mm] Das kriegst Du aber in Ordnung gebracht.

>  
> Und wie kann ich mir die Mengen [mm]M_2[/mm] bzw. [mm]M_3[/mm] vorstellen
> bzw. die Idealaxiome zeigen?

Ebenso. Ist z.B. [mm] $a^{10}= [/mm] 0$, gibt es dann ein $n$ so dass [mm] $(ra)^{n}=0$? [/mm]

>  
> Besten Dank für Eure Anregungen und Hilfen.
>  Grüße Seb


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